Đề bài
Cho hình thang ABCD [AB, CD là hai đáy]. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểmcủa AB, AC, CD, BD.
a] Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b] Hình thang ABCD cần có thêm điều kiện gì để tứ giác MNPQ laanf lượt trở thành :
- Hình thoi
- Hình chữ nhật
- Hình vuông
Lời giải chi tiết
a] M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt];
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác ABC
\[ \Rightarrow MN//AC\] và ..
Q, P lần lượt là trung điểm của AD và CD [gt];
\[ \Rightarrow QP\] là đường trung bình của tam giác ADC
\[ \Rightarrow QP//AC\] và \[QP = {1 \over 2}AC\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow MN//QP\] và \[MN = QP\]
Vậy tư giác MNPQ là hình bình hành.
b] Ta có tứ giác MNPQ là hình bình hành.
MN // AC, \[MN = {{AC} \over 2}\] [MN là đường trung bình của tam giác ABC]
MQ // BD, \[MQ = {{BD} \over 2}\] [MQ là đường trung bình của tam giác ABD]
* Tứ giác MNPQ là hình thoi \[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành MNPQ có \[MN = MQ \Leftrightarrow AC = BD\]
Vậy hình thanh ABCD cần có thêm điều kiện \[AC = BD\] để tứ giác MNPQ là hình thoi.
* Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật \[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành MNPQ có \[\widehat {NMQ} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow MN \bot MQ \Leftrightarrow MQ \bot AC \Leftrightarrow AC \bot BD\]
Vậy hình thang ABCD cần có thêm điều kiện \[AC \bot BD\] để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
* Tứ giác MNPQ là hình vuông \[ \Leftrightarrow \] Hình thoi MNPQ có \[\widehat {NMQ} = {90^0} \Leftrightarrow AC = BD\] và \[AC \bot BD\]
Vậy hình thang ABCD cần thêm điều kiện \[AC = BD,\,\,AC \bot BD\] để tứ giác MNPQ là hình vuông.