- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình
LG a
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Đặt \[S = x + y; P = xy\], giải hệ phương trình ẩn S, P
Từ đó suy ra x, y là nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[S = x + y; P = xy\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} - P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2P = 4\\
{S^2} - P = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 2\\
{S^2} = 9
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[S = 3; P = 2\] thì x, y là nghiệm của phương trình:
\[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
X = 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có nghiệm \[[1, 2]; [2, 1]\]
+ Với \[S = -3, P = 2\] thì x, y là nghiệm của phương trình
\[{X^2} + 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - 1\\
X = - 2
\end{array} \right.\]
Ta có nghiệm \[[-1, -2]; [-2, -1]\]
Vậy hệ có 4 nghiệm là: \[[1, 2]; [2, 1]; [-1, -2]; [-2, -1]\]
LG b
\[\left\{ \matrix{
2{[x + y]^2} - xy = 1 \hfill \cr
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[S = x + y; P = xy\], ta có:
\[\left\{ \matrix{
2{S^2} - P = 1 \hfill \cr
SP = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
S = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
P = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr
P = - 1 \hfill \cr} \right.\] hoặc \[\left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[S = 0; P = -1\] thì x, y là nghiệm phương trình
\[{X^2} 1 = 0 X = ± 1\], ta có nghiệm \[[1, -1]; [-1, 1]\]
+ Với \[S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\], ta có nghiệm: \[[0,\,{1 \over {\sqrt 2 }}];\,[{1 \over {\sqrt 2 }},0];\,[0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }}];\,[ - {1 \over {\sqrt 2 }},0]\]