Khối đa diện có bao nhiêu cạnh
Trong hình học, một khối đa diện đều là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau. Đa diện đều được chia thành đa diện đều lồi và lõm. Trong không gian ba chiều, chỉ có đúng 5 khối đa diện đều lồi (khối đa diện lồi có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau), 3 trong số chúng có mặt là các tam giác đều (xem chứng minh trong bài). Chúng được giới thiệu trong các hình dưới đây: Tên của chúng gọi theo số mặt của mỗi khối tương ứng là 4, 6, 8, 12, và 20. Các khối này đều có số mặt là chẵn (cần chứng minh?) Còn được gọi là đa diện sao, vì chúng có những góc nhô ra như cánh của ngôi sao Một khối đa diện lồi là đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn cả ba tính chất sau
Mỗi khối đa diện đều có thể xác định bới ký hiệu {p, q} trong đó p = số các cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt)q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh).Khí hiệu {p, q}, được gọi là ký hiệu Schläfli, là đặc trưng về số lượng của khối đa diện đều. Ký hiệu Schläfli của năm khối đa diện đều được cho trong bảng sau. Tất cả các thông tin số lượng khác của khối đa diện đều như số các đỉnh (V), số các cạnh (E), và số các mặt (F), có thể tính được từ p và q. Vì mỗi cạnh nối hai đỉnh, mỗi cạnh kề hai mặt nên chúng ta có: pF=2E=qV.{\displaystyle pF=2E=qV.\,}Một quan hệ khác giữa các giá trị này cho bới công thức Euler: V−E+F=2.{\displaystyle V-E+F=2.\,}Còn có ba hệ thức khác với V, E, and F là: V=4p4−(p−2)(q−2),E=2pq4−(p−2)(q−2),F=4q4−(p−2)(q−2).{\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}Một kết quả cổ điển là chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi. Các mệnh đề hình học sau được biết từ Euclid trong tác phẩm Elements:
Một chứng minh khá đơn giản bằng topo dựa vào các thông tin về khối đa diện. Chìa khóa của chứng minh là công thức Euler V−E+F=2{\displaystyle V-E+F=2}, và các quan hệ pF=2E=qV{\displaystyle pF=2E=qV}. Từ các đẳng thức này 2Eq−E+2Ep=2.{\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}Một biến đổi đại số đơn giản cho ta 1q+1p=12+1E.{\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}Vì E{\displaystyle E} là số dương ta phải có 1q+1p>12.{\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}Dựa vào việc cả p và q ít nhất là 3, dễ dàng có năm cặp có thể của {p, q}: {3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}{\displaystyle \{3,3\}\quad \{4,3\}\quad \{3,4\}\quad \{5,3\}\quad \{3,5\}}Khối đa diện đều trong trò chơi may rủi[sửa | sửa mã nguồn]Các khối đa diện đều thường được dùng là quân xúc xắc dùng trong các trò chơi may rủi. Con xúc xắc sáu mặt (khối lập phương) thường được dùng hơn cả, tuy nhiên cũng có thể dùng các khối 4, 8, 12, 20 mặt như trong hình dưới đây. |