Phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A và B
|
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left( {1,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( {1,2,1} \right),{\rm{ }}C\left( {1,1,2} \right)$ và $D\left( {2,2,1} \right)$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là
Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = - \frac{z}{2}\) và hai điểm \(A(2;1;0)\),\(B( - 2;3;2)\) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d. A. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 17\) C. \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\) D. \({(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2t \end{array} \right.\)
Ta có: \(I \in d \Rightarrow I(1 + 2t;t; - 2t) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AI} = ( - 1 + 2t;t - 1; - 2t)\\ \overrightarrow {BI} = \left( {3 + 2t;t - 3; - 2 - 2t} \right) \end{array} \right.\)
Vì mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B nên:
\(R = IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {( - 1 + 2t)^2} + {(t - 1)^2} + {( - 2t)^2} = {(3 + 2t)^2} + {(t - 3)^2} + {( - 2 - 2t)^2}\\ \Leftrightarrow 20t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I( - 1; - 1;2) \Rightarrow R = IA = \sqrt {17} \end{array}\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\).
Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:  Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct) Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu Bài 1: Cho các điểm A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz Hướng dẫn: Do tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; z) IA2 =12 +32 +(z-1)2 IB2=32 +22+(z-2)2 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒ 12 +32 +(z-1)2=32 +22+(z-2)2 ⇔ 2z=6 ⇔ z=3 ⇒ I (0; 0; 3); R2 =IA2 =14 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x2 +y2 +(z-3)2 =14 Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) và B (2; 2; 1) và đường thẳng Hướng dẫn: Phương trình tham số của Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t) Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2 IB2= (1+2t-2)2 +(2-t-2)2 +(3-2t-1)2= 9t2 -4t+5 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒9t2+ 2t +2= 9t2 -4t+5 ⇔ t=1/2 ⇒ I(2; 3/2;2); R2= IA2=21/4 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x-2)2 +(y-3/2)2 +(z-2)2 =21/4 Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường thẳng Hướng dẫn: Phương trình tham số của Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t) Ta có: IA2=(1+2t+2)2 +(-2-t-4)2 +(3-2t-1)2 =9t2 +16t +49 IB2=(1+2t-22 +(-2-t)2 +(3-2t-3)2 =9t2 +8t +5 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒ 9t2+16t+49= 9t2 +8t+5 ⇔ t=(-11)/2 ⇒ R2 =IA2=933/4 ⇒ R=√(933)/2 Toán 12 Ngữ văn 12 Tiếng Anh 12 Vật lý 12 Hoá học 12 Sinh học 12 Lịch sử 12 Địa lý 12 GDCD 12 Công nghệ 12 Tin học 12 Cộng đồng
Hỏi đáp lớp 12 Tư liệu lớp 12 Xem nhiều nhất tuần
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B Quảng cáo Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số: Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct) Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu Bài 1: Cho các điểm A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz Hướng dẫn: Do tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; z) IA2 =12 +32 +(z-1)2 IB2=32 +22+(z-2)2 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒ 12 +32 +(z-1)2=32 +22+(z-2)2 ⇔ 2z=6 ⇔ z=3 ⇒ I (0; 0; 3); R2 =IA2 =14 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x2 +y2 +(z-3)2 =14 Quảng cáo Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) và B (2; 2; 1) và đường thẳng Hướng dẫn: Phương trình tham số của Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t) Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2 IB2= (1+2t-2)2 +(2-t-2)2 +(3-2t-1)2= 9t2 -4t+5 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2 ⇒9t2+ 2t +2= 9t2 -4t+5 ⇔ t=1/2 ⇒ I(2; 3/2;2); R2= IA2=21/4 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x-2)2 +(y-3/2)2 +(z-2)2 =21/4 Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường thẳng Hướng dẫn: Quảng cáo Phương trình tham số của Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t) Ta có:
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp |
