Số hữu tỉ là gì ví dụ
|
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0)\). Show
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\). Ví dụ: \( - 7,21;\dfrac{{ - 7}}{{ - 9}};\dfrac{0}{{ - 2}};2\dfrac{3}{8};...\) là các số hữu tỉ. Chú ý : + Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) là số hữu tỉ -\(\dfrac{a}{b}\). + Tổng của 2 số đối nhau luôn bằng 0. Ví dụ: Số đối của \(\dfrac{2}{5}\) là \(\dfrac{{ - 2}}{5}\). Số đối của 0 là 0. Số đối của \( - 1\dfrac{3}{7}\) là \(1\dfrac{3}{7}\). + Các số thập phân đã biết đều là các số hữu tỉ. Các số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ. Bài này sẽ giúp các bạn biết được thế nào là số hữu tỉ, lấy được ví dụ về số hữu tỉ và biểu diễn chúng trên trục số.1/ Lý thuyết
- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \[a,\,b \in Z,\,b \ne 0\] - Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q. - Ví dụ: các số \(3;\, - 0,5;\,0;\,2\frac{5}{7}\) đều là các số hữu tỉ vì: \(\begin{array}{l} + )\,3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = ...\\ + )\, - 0,5 = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} = ...\\ + )\,0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{{ - 3}} = ...\\ + )\,2\frac{5}{7} = \frac{{19}}{7} = \frac{{ - 19}}{{ - 7}} = \frac{{38}}{{14}} = ...\end{array}\) Toán học là một môn học không thể thiếu trong cuộc sống của con người, có rất nhiều người giỏi toán trở thành tỉ phú và tạo dựng ra các công trình vĩ đại như Steve Jobs (cựu giám đốc Apple), Mark Zuckerberg (người sáng lập ra Facebook), … Do vậy mà chúng ta cần phải trau dồi cũng như học hỏi nhiều hơn về toán học. Không chỉ là trang bị kiến thức và kĩ năng, mà toán học đôi khi còn đem lại niềm vui cho chúng ta, khi giải xong một bài toán khó ắt hẳn chúng ta rất vui mừng. Ngoài ra toán học còn rèn luyện lòng kiên nhẫn và khả năng tập trung cao nữa. Và bài viết này vforum sẽ đề cập đến một vấn đề liên quan về toán học đó là khái niệm về số hữu tỉ là gì? Số vô tỉ là gì? Cho ví dụ sự khác nhau giữa số vô tỉ và hữu tỉ? Sau đây hãy cùng vforum tìm hiểu nhé. Số hữu tỉ là gì? Số hữu tỉ là tập hơn các số có thể viết được dưới dạng phân số (thương) a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b phải khác 0 Số hữu tỉ bao gồm số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn, tập hợp số nguyên. Tập hợp các số hữu tỉ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số a/b, vì mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Ví dụ như là 1/3,2/6,3/9 ... cùng biểu diễn một số hữu tỉ. Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu là Q Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được. Tính chất của số hữu tỉ là:
Ví dụ: Nhân số hữu tỉ: 2/3 * 4/5 = 2.4/ 3.5 = 8/15 Chia số hữu tỉ: 2/3 : 4/5 = 2.5/ 4.3= 10/ 12 Số vô tỉ là gì? Số vô tỉ là tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong toán học thì các số thực không phải là số hữu tỉ mà được gọi là các số vô tỉ, nghĩa là các bạn không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/ b (a, b là các số nguyên). Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được. Tập hợp số vô tỉ kí hiệu là I Ví dụ: Số √ 2 (căn 2) Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001... Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7… Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944… Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536… Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ? Số hữu tỉ và số vô tỉ khác nhau như sau:
Ví dụ: Số hữu tỉ là ¾ còn số vô tỉ là 0,1112323123153436791… Trên đây là bài viết về số hữu tỉ là gì, Số vô tỉ là gì, mong rằng sẽ giúp ích cho độc giả của vforum có thêm nhiều kiến thức bổ ích về toán học để có thể sử dụng một cách thành thạo khi gặp phải. Trong giải tích toán học, các số hữu tỉ tạo thành một tập con trù mật của các số thực. Các số thực có thể được xây dựng từ các số hữu tỉ bằng cách hoàn thành, sử dụng chuỗi Cauchy, cắt Dedekind hoặc các số thập phân vô hạn (để biết thêm, xem Xây dựng các số thực). Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]Thuật ngữ hữu tỷ trong tên của tập hợp Q đề cập đến thực tế rằng một số hữu tỷ biểu thị một tỷ số của hai số nguyên. Tính từ hữu tỉ đôi khi có nghĩa là các hệ số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một điểm có toạ độ hữu tỉ (tức là một điểm có toạ độ là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một ma trận của các số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ có thể là một đa thức với các hệ số hữu tỉ, mặc dù thuật ngữ "đa thức trên các số hữu tỉ" thường được ưu tiên hơn, để tránh nhầm lẫn giữa " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là một biểu thức hữu tỉ và định nghĩa một hàm hữu tỉ, ngay cả khi các hệ số của nó không phải là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đường cong hữu tỷ không phải là một đường cong được xác định trên các số hữu tỷ, mà là một đường cong có thể được tham số hóa bằng các hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn] Từ nguyên này tương tự như từ nguyên của số ảo và số thực. Số học[sửa | sửa mã nguồn]Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và b > 0. Đây thường được gọi là dạng chính xác của số hữu tỉ. Bắt đầu từ một số hữu tỉ a/b, dạng chính xác của nó có thể nhận được bằng cách chia a và b cho ước chung lớn nhất của chúng, và nếu b < 0, thay đổi dấu của tử số và mẫu số. Nhúng các số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]Mọi số nguyên n có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chính tắc của nó dưới dạng một số hữu tỉ. Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]khi và chỉ khi Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, thì: khi và chỉ khi và Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]Nếu cả hai mẫu số đều dương (đặc biệt nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc): khi và chỉ khi Mặt khác, nếu một trong hai mẫu số là âm, thì trước tiên mỗi phân số có mẫu số âm phải được chuyển thành dạng tương đương với mẫu số dương — bằng cách đổi dấu của cả tử số và mẫu số của nó. Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]Hai số hữu tỷ được cộng như sau:
Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, kết quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi b và d là các số nguyên tố cùng nhau. Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]Hai số hữu tỷ được trừ như sau: tùy vào các trường hợp Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, kết quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi b và d là các số nguyên tố cùng nhau. Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]Hai số hữu tỷ được nhân như sau:
trong đó kết quả có thể là một phân số có thể rút gọn — ngay cả khi cả hai phân số ban đầu đều ở dạng chính tắc. Nghịch đảo phép cộng và phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]Mọi số hữu tỉ a/b có một nghịch đảo phép cộng, thường được gọi là số đối của nó,
Nếu như a/b ở dạng chính tắc, thì số đối của nó cũng ở dạng này. Một số hữu tỉ khác không a/b có nghịch đảo phép nhân, còn gọi là nghịch đảo của nó,
Nếu như a/b ở dạng chính tắc, thì dạng chính tắc của nghịch đảo của nó là b/a hoặc −b/−a, phụ thuộc vào dấu của a.[cần dẫn nguồn] Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]Nếu b, c và d khác không, quy tắc chia là
Như vậy, chia a/b cho c/d tương đương với nhân a/b với nghịch đảo của c/d:
Lũy thừa với số mũ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]Nếu n là một số nguyên không âm, thì
Kết quả ở dạng chuẩn tắc nếu a/b ở dạng chuẩn tắc. Đặc biệt,
Nếu a ≠ 0, thì
Nếu như a/b ở dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc của kết quả là bn/an nếu a > 0 hoặc n chẵn. Nếu không, dạng chuẩn tắc của kết quả là −bn/−an. Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại. Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn VD: phân số có mẫu số là không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Ví dụ 1: phân số có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ 2: phân số có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|. Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Biểu diễn bằng liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]Một liên phân số hữu hạn là một biểu thức chẳng hạn như
trong đó an là các số nguyên. Mọi số hữu tỉ a/b có thể được biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn, mà hệ số an có thể được xác định bằng cách áp dụng thuật toán Euclide cho (a, b). Xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của . Xét tập tích Decaters: \= Trên đó xác định một quan hệ tương đương:
của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b:
Tập các lớp này () được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập định nghĩa các phép toán:
Khi đó nếu và thì ; và . Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập . Để xem là bộ phận của ta nhúng vào nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong .\ Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]Tập hợp Z của tất cả các số hữu tỉ, cùng với các phép toán cộng và nhân được trình bày ở trên, tạo thành một trường. Z không có phép tự đẳng cấu nào ngoài giá trị đơn vị. Với thứ tự được định nghĩa ở trên, Z là trường có thứ tự không có trường con nào khác ngoài chính nó, và là trường có thứ tự nhỏ nhất, theo nghĩa là mọi trường có thứ tự đều chứa một trường con duy nhất đẳng cấu với Z. Z là trường phân số của tập hợp các số nguyên Q. Tính đóng đại số của Q, tức là trường của các nghiệm của các đa thức hữu tỷ, là trường của các số đại số.[cần dẫn nguồn] Tập hợp tất cả các số hữu tỉ có thể đếm được (xem hình vẽ), trong khi tập hợp tất cả các số thực (cũng như tập hợp các số vô tỉ) là không đếm được. Có thể đếm được, tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp rỗng, tức là hầu hết tất cả các số thực đều vô tỉ, theo nghĩa của độ đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn] Số hữu tỷ là một tập hợp có trật tự trù mật: giữa hai số hữu tỷ bất kỳ, có một số hữu tỷ khác, và do đó, có vô số số hữu tỷ khác giữa chúng. Ví dụ, đối với hai phân số bất kỳ thỏa mãn
(với đều dương), ta có
Bất kỳ tập hợp có thứ tự hoàn toàn nào có thể đếm được, trù mật (theo nghĩa trên) và không có phần tử nhỏ nhất hoặc lớn nhất nào là đẳng cấu thứ tự với tập hợp các số hữu tỉ. Với số thực và tính chất pô[sửa | sửa mã nguồn]Số hữu tỉ là một tập con trù mật của các số thực: mọi số thực đều có các số hữu tỉ gần nó một cách tùy ý. Một tính chất liên quan là số hữu tỉ là số duy nhất có mở rộng hữu hạn dưới dạng liên phân số thông thường. Số hữu tỉ là gì cho ví dụ?Số hữu tỉ bao gồm số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn, tập hợp số nguyên. Tập hợp các số hữu tỉ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số a/b, vì mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Ví dụ như là 1/3,2/6,3/9 ... cùng biểu diễn một số hữu tỉ. Ví dụ số vô tỉ là gì?iv) Tập các số vô tỉ : Một số biểu diễn dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là một số vô tỉ. Chẳng hạn √2 = 1,41421356...; e = 2,7182818284...; π 3, 1415926... Số hữu tỉ bao gồm những gì?Trong toán học, cụ thể là đại số, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên với b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ, hay còn gọi là trường số hữu tỉ, có ký hiệu là Q. Tập hợp số hữu tỉ gồm: Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.2 (⅕),... Thế nào là số hữu tỉ lớp 7?- Khái niệm: Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể được viết dưới dạng phân số (thương số), số hữu tỉ có thể đươc biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số hữu tỉ sẽ được viết dưới dạng là a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b chắc chắn phải khác 0. |
