Tóm tắt nội dung tài liệu
- 10/3/2014 Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. Chương 4 4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của dạng phương trình [1] thỏa mãn điều kiện ban đầu F [ x, y , y′, y′′] = 0, [1] y [ x0 ] = y0 , y′[ x0 ] = y0′ , trong đó y = f [ x] xác định trên D ⊂ ℝ. với x0 , y0 , y0′ là những số cho trước. Nghiệm của [1] là một hàm y = f [ x ] xác định và khả vi cho đến cấp 2 trên tập D ⊂ ℝ sao cho F [ x, y [ x], y′[ x ], y′′[ x ]] = 0, ∀x ∈ D. 4.1 Các PTVP cấp 2 có thể giảm cấp 4.1 Các phương trình vi phân cấp 2 có thể 1. Phương trình không chứa trực tiếp y , y′ giảm cấp Dạng cơ bản 4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có y′′ = f [ x ]. [2] Phương pháp giải hệ số hằng Lấy tích phân hai vế phương trình [2], ta được y′ = ∫ f [ x]dx + C1 = ϕ [ x] + C1. ⇒ y = ∫ [ϕ [ x] + C1 ]dx + C2 = ψ [ x] + C1 x + C2 . 1
- 10/3/2014 Ví dụ 4.1 Giải PTVP y′′ = e 2 x với điều kiện 2. Phương trình không chứa trực tiếp y 7 3 Dạng cơ bản y [0] = − , y′[0] = . F [ x, y′, y′′] = 0 [3] 4 2 Phương pháp giải 1 Ví dụ 4.2 Giải PTVP y′′ = . Đặt ẩn hàm phụ z = y′, thì ta có phương trình cos 2 x G [ x, z , z ′] = 0, [4] Giải [4], ta tìm được z . Khi đó, y = ∫ zdx + C. Ví dụ 4.3 Giải PTVP 3. Phương trình không chứa biến độc lập x y′ y′′ = x − . Dạng cơ bản x F [ y, y′, y′′] = 0. [5] Phương pháp giải Đặt z = y′. Ta coi y là biến độc lập và z là Ví dụ 4.4 Giải PTVP [1 + x 2 ] y′′ + [ y′] 2 + 1 = 0. hàm số theo biến y . Ta có dy′ dz dz dy dz dz y′′ = = = . = . y ′ = .z dx dx dy dx dy dy Ví dụ 4.5 Giải PTVP [ y′] + yy′′ = 0, với điều 2 Thay vào [5], ta nhận được một PTVP cấp 1 theo ẩn hàm z : kiện ban đầu: dz 1 F [ y, z, z ] = 0. y [1] = 2, y′[1] = . dy 2 Giải phương trình này, ta được z = z [ y , C1 ]. Ví dụ 4.6 Giải PTVP Suy ra y′′ = y′e y . dy dy = z = z [ y, C1 ] ⇒ x = ∫ + C2 . dx z [ y , C1 ] 2
- 10/3/2014 Bài tập 1 Giải các PTVP sau 4.2 PTVP tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng 1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất 1] xy′′ = y′ Dạng cơ bản 2] yy′′ − yy′ ln y = [ y′] 2 y′′ + py′ + qy = 0, [6] 3] yy′′ + [ y′] = 1 2 2 Phương pháp giải 4] y′′ + [ y′] 2 = 0. Xét phương trình đặc trưng 1− y k 2 + pk + q = 0. [7] • Nếu [7] có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 • Nếu [7] có hai nghiệm phức k1 = α + i β , thì nghiệm tổng quát của [6] có dạng: k2 = α − i β , thì nghiệm tổng quát của [6] có y = C1e k1 x + C2 e . k2 x dạng: y = eα x [ C1 cos β x + C2 sin β x ] . • Nếu [7] có nghiệm kép k1 = k2 = k thì nghiệm tổng quát của [6] có dạng: y = C1e kx + C2 xe kx . Ví dụ 4.7 Giải PTVP 2. PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Dạng cơ bản y′′ − 3 y′ + 2 y = 0. y′′ + py′ + qy = f [ x]. [8] Ví dụ 4.8 Giải PTVP Nguyên tắc chồng chất nghiệm Nếu y1 , y2 lần lượt là nghiệm của ptvp sau y′′ − 4 y′ + 4 y = 0. y′′ + py′ + qy = f1 [ x], Ví dụ 4.9 Giải PTVP y′′ + py′ + qy = f 2 [ x] y′′ + y′ + y = 0. thì y1 + y2 là nghiệm của ptvp y′′ + py′ + qy = f1 [ x] + f 2 [ x]. [9] 3
- 10/3/2014 Phương pháp giải Nghiệm riêng của [8] phụ thuộc vào dạng của Bước 1. Tìm nghiệm tổng quát y0 của phương hàm f [ x] : trình thuần nhất y′′ + py′ + qy = 0. αx Trường hợp 1: f [ x ] = e Pn [ x], với Pn [ x ] là Bước 2. Tìm một nghiệm riêng yr cho [8]. đa thức bậc n. Bước 3. Kết luận nghiệm tổng quát của [8] là Nếu α không là nghiệm của phương trình yTQ = y0 + yr . đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = eα xQn [ x]. Nếu α là nghiệm đơn của phương trình Ví dụ 4.10 Giải PTVP y′′ − 5 y′ + 4 y = 4 x 2 . đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng αx yr = xe Qn [ x]. Nếu α là nghiệm kép của phương trình Ví dụ 4.11 Giải PTVP đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng 2 αx y′′ − 3 y′ + 2 y = [2 x + 1]e x . yr = x e Qn [ x]. Ví dụ 4.12 Giải PTVP y′′ − 6 y′ + 9 y = 4e3 x . Trường hợp 2: Nếu α ± i β là nghiệm của phương trình f [ x] = eα x [ Pn [ x] cos β x + Qm [ x]sin β x ]. đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = xeα x [ H k [ x] cos β x + Rk [ x]sin β x ]. Gọi k = max {m; n}. Ta có Nếu α ± i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng yr = eα x [ H k [ x ]cos β x + Rk [ x]sin β x ]. 4
- 10/3/2014 Ví dụ 4.13 Giải PTVP Ví dụ 4.15 Giải PTVP y′′ − 3 y′ + 2 y = cos x. y′′ − 2 y′ = 2cos 2 x Ví dụ 4.14 Giải PTVP y′′ − 2 y = e x sin x. Bài tập 2 Giải các PTVP sau 1. y′′ − 3 y′ + 2 y = 2 x 3 − 10 2. y′′ − 2 y′ + 2 y = x 2 3. y′′ + 2 y′ − 3 y = 4e− x 4. y′′ − 6 y′ + 9 y = 4e3 x 9 5. y′′ + y = −3cos 2 x + x sin 2 x, 4 3 π π y [0] + y′[0] = ; y + y′ = 0. 2 2 2 5
Page 2
YOMEDIA
Bài giảng "Toán cao cấp A5- Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Các phương trình vi phân có thể giảm cấp, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
12-01-2016 207 20
Download
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.
Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất [6] bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất [4] với 1 nghiệm riêng của [6].
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Chương 8. Phương trình vi phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
10/13/2012 1 Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 §2. Phương trình vi phân cấp 2 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát [ , , ] 0F x y y [*]. Nếu từ [*] ta giải được theo y thì [*] trở thành [ , ]y f x y . • Nghiệm của [*] có dạng [ ]y y x chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 0 0[ ]y y x cho trước [thường gọi là điều kiện đầu] vào nghiệm tổng quát ta được giá trị 0C cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của [*]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 1. Cho phương trình vi phân 0y x [*]. Xét hàm số 2 2 x y C , ta có: 0y x thỏa phương trình [*]. Suy ra 2 2 x y C là nghiệm tổng quát của [*]. Thế 2, 1x y vào 2 2 x y C , ta được: 2 1 1 2 x C y là nghiệm riêng của [*] ứng với điều kiện đầu [2] 1y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của [1] ta được nghiệm tổng quát: [ ] [ ] .f x dx g y dy C Giải. Ta có: 2 2 2 2 0 1 1 1 1 xdx ydy xdx ydy C x y x y 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: [ ] [ ] 0 [1].f x dx g y dy VD 2. Giải phương trình vi phân 2 2 0 1 1 xdx ydy x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 2 2 2 [1 ] [1 ] 2 1 1 d x d y C x y 2 2ln[1 ] ln[1 ] 2x y C 2 2 1ln [1 ][1 ] lnx y C . Vậy 2 2[1 ][1 ]x y C . Giải. [ 2] [ 2]dyy xy y xy y dx [ 2] dy xdx y y 1 1 2 2 dy xdx y y VD 3. Giải phương trình vi phân [ 2]y xy y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 22ln . 2 2 xy yx C C e y y . Giải. 2 3 1 0 11 x y pt dx dy yx 3 3 1 [ 1] 2 1 3 11 d x dy C yx 31 ln 1 2 ln 1 3 x y y C 3 6 1 ln 3 3 [ 1] x C y y 3 6 31 [ 1] .yx C y e VD 4. Giải ptvp 2 3[ 1] [ 1][ 1] 0x y dx x y dy . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2 2dyxy y y x y y dx 2 1 1 1 dy dx dx dy x y y xy y 1 1ln ln ln lny yx C Cx y y 1y Cxy [*]. Thay 11, 2 x y vào [*] ta được 1y xy . VD 5. Giải ptvp 2xy y y thỏa điều kiện 1[1] 2 y . 10/13/2012 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Chẳng hạn, hàm số: [ , ] 2 3 x y f x y x y là đẳng cấp bậc 0, 24 3 [ , ] 5 x xy f x y x y là đẳng cấp bậc 1, 2[ , ] 3 2f x y x xy là đẳng cấp bậc 2. 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a] Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến [ , ]f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi 0k thì [ , ] [ , ]nf kx ky k f x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân b] Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: [ , ] [2].y f x y Trong đó, [ , ]f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Bước 1. Biến đổi [2] yy x . Bước 2. Đặt yu y u xu x . Bước 3. [2] [ ] [ ] du dx u xu u u u x [ ] 0u u x [đây là ptvp có biến phân ly]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2 2 2 1 y y x xx xy y y y xy y x . Đặt yu y u xu x . 21 1u u du u pt u xu x u dx u 1 0 1 1 1 udu dx dx du C u x u x VD 6. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y y xy . Ø Chương 8. Phương trình vi phân ln [ 1] 1 . y xyu x u C x C e x . Vậy . y xy x C e . Giải. 1 , 1 x y u y y u xu u x y u x 2 2 2 1 1 1 1 1 du u u dx x du dx u xu u VD 7. Giải phương trình vi phân x yy x y với điều kiện đầu [1] 0y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 21 ln[1 ] ln 2 arctgu u x C 2 2 2 ln x y y x arctg C xx [*]. Thay 1, 0x y vào [*] ta được 0C . Vậy 2 2 2 y arctg xx yx e x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Nghiệm tổng quát của [3] là [ , ]u x y C . Nhận xét / /[ , ] [ , ], [ , ] [ , ]x yu x y P x y u x y Q x y . 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số [ , ], [ , ]P x y Q x y và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện / /, [ , ]x yQ P x y D . Nếu tồn tại hàm [ , ]u x y sao cho [ , ] [ , ] [ , ]du x y P x y dx Q x y dy thì phương trình vi phân có dạng: [ , ] [ , ] 0 [3]P x y dx Q x y dy được gọi là phương trình vi phân toàn phần. 10/13/2012 3 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Lấy tích phân [3a] theo biến x ta được: [ , ] [ , ] [ , ] [ ]u x y P x y dx x y C y [3c]. Trong đó, [ ]C y là hàm theo biến y . Phương pháp giải Bước 1. Từ [3] ta có /xu P [3a] và / yu Q [3b]. Bước 3. Đạo hàm [3c] theo biến y ta được: / / [ ]y yu C y [3d]. Bước 4. So sánh [3b] và [3d] ta tìm được [ ]C y . Thay [ ]C y vào [3c] ta được [ , ]u x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1] 2 / 2 / 3 2 2 6 2 6 3 2 6 y x P y xy x P y x Q x xy Q x y đpcm. 2] Ta có: / 2 / 2 3 2 2 [ ] 6 3 [ ] x y u y xy x a u x xy b VD 8. Cho phương trình vi phân: 2 2[3 2 2 ] [ 6 3] 0y xy x dx x xy dy [*]. 1] Chứng tỏ [*] là phương trình vi phân toàn phần. 2] Giải phương trình [*]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2[ ] [3 2 2 ]a u y xy x dx 2 2 23 [ ]xy x y x C y / 26 [ ]yu xy x C y [c]. So sánh [b] và [c], ta được: [ ] 3 [ ] 3C y C y y . Vậy [*] có nghiệm 2 2 23 3xy x y x y C . Giải. Ta có: / / 1 [ ] [ ] x y y u x y a u e x b VD 9. Giải ptvp [ 1] [ ] 0yx y dx e x dy . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 [ ] [ 1] [ ] 2 x a u x y dx xy x C y / [ ]yu x C y [c]. So sánh [b] và [c], ta được: [ ] [ ]y yC y e C y e . Vậy phương trình có nghiệm 2 2 yx xy x e C . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải [phương pháp biến thiên hằng số Lagrange] Bước 1. Tìm biểu thức [ ][ ] p x dxA x e . Bước 2. Tìm biểu thức [ ][ ] [ ]. p x dxB x q x e dx . Bước 3. Nghiệm tổng quát là [ ] [ ]y A x B x C . 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: [ ] [ ] [4].y p x y q x • Khi [ ] 0q x thì [4] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của [4] dưới dạng: [ ] [ ] . p x dx y C x e Nhận xét. [ ] [ ][ ] [ ]. . [ ] p x dx q x B x q x e dx dx A x VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm nghiệm tổng quát của 2 4 lnyy x x x dưới dạng: A. 2 [ ]C x y x ; B. 3 [ ]C x y x ; C. [ ]C xy x ; D. [ ]C xy x . 10/13/2012 4 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 2[ ] 2 [ ] [ ] [ ] dx p x dx x C xy C x e C x e A x . Giải. Ta có: 2[ ] , [ ] 0p x x q x . 3 2[ ] 3[ ] x p x dx x dx A x e e e . [ ][ ] [ ]. 0p x dxB x q x e dx 3 3 x y Ce là nghiệm tổng quát của phương trình. VD 11. Giải phương trình vi phân 2 0y x y thỏa điều kiện 9 3x y e . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng 3 3 x y e . Giải. Ta có: sin[ ] cos , [ ] xp x x q x e . cos sin[ ] xdx xA x e e . cossin[ ] . xdxxB x e e dx x . Vậy sin [ ]xy e x C . VD 12. Giải phương trình sincos xy y x e . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Khi 0 hoặc 1 thì [5] là tuyến tính cấp 1. • Khi [ ] [ ] 1p x q x thì [5] là pt có biến phân ly. Phương pháp giải [với α khác 0 và 1] Bước 1. Với 0y , ta chia hai vế cho y: [5] [ ] [ ] y y p x q x y y 1[ ] [ ]y y p x y q x . 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: [ ] [ ] [5].y p x y q x y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Đặt 1 [1 ]z y z y y , ta được: [5] [1 ] [ ] [1 ] [ ]z p x z q x [đây là phương trình tuyến tính cấp 1]. Giải. Ta có: 2 2 11 .yy xy y y y x x x . Đặt 1 2z y z y y , ta được: 1 1 . .pt z z x z z x x x . VD 13. Giải phương trình vi phân 2yy xy x với điều kiện đầu 1, 1x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân [ ] , [ ] . dx dx x xA x e x B x x e dx x 21[ ]z x x C x Cx y . Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm 2 2 1 0x y xy . Giải. 3 4 4 3 32 2y xy x y y y xy x . Đặt 3 43z y z y y . 3 31 2 6 3 3 pt z xz x z xz x . VD 14. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân 26 3[ ] xdx xA x e e , 263 3 3[ ] 3 . 3 xdx xB x x e dx x e dx 2 22 3 2 3 21 13 [3 ] [3 1] 6 6 x xx e d x e x . Vậy 2 23 3 2 3 1 1 [3 1] 6 x xe e x C y . 10/13/2012 5 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế [1] hai lần: 1[ ] [ ] [ ]y f x y f x dx x C 1 1 2[ ] [ ]y x dx C x x C x C . VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x . §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y có dạng: [ ] [1].y f x Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. 3 2 2 13 x y x y x dx C 3 4 1 1 23 12 x x y C dx y C x C . VD 2. Giải ptvp 2xy e với 7 3[0] , [0] 4 2 y y . Giải. 2 2 1 1 2 x xy e y e C [a]. Thay 30, [0] 2 x y vào [a] ta được 1 1C 21 1 2 xy e 2 2 1 4 xy e x C [b]. Ø Chương 2. Phương trình vi phân Thay 70, [0] 4 x y vào [b] ta được 2 2C . Vậy phương trình có nghiệm riêng 21 2 4 xy e x . Phương pháp giải • Đặt z y đưa [2] về phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân yy x x . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: [ , ] [2].y f x y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y ta có: 1yy x z z x x x . 1 [ ] dx xA x e x , 31[ ] 3 dx xB x xe dx x . Suy ra 3 2 11 1 1 1 3 3 C z x C y x x x . Vậy 3 1 2 1 ln 9 y x C x C . VD 4. Giải pt vi phân [ 1] 0 1 y y x x x với điều kiện [2] 1, [2] 1y y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y ta có: 1 [ 1] 1 pt z z x x x . 1[ ] 1 dx xA x e x , 21 1[ ] [ 1] 2 dx xB x x x e dx x 2 1 1 [ 1] 2 y x x C . 3 21 1[2] 1 3 3 2 2 y y x x x Ø Chương 8. Phương trình vi phân 4 3 2 2 3 3 8 6 2 x x x y x C . 4 3 23 1 [2] 1 3 8 6 2 3 x x x y y x . 10/13/2012 6 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Đặt z y ta có: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy . Khi đó, [3] trở thành ptvp với biến số phân ly. VD 5. Giải phương trình vi phân 22 1yy y . Giải. Đặt z y dzy z dy . 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: [ , ] [3].y f y y Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 2 2 2 1 1 dz zdz dy pt yz z dy yz 2 2 2 [ 1] ln[ 1] ln 1 d z dy z Cy yz 2 1z Cy [*]. Đạo hàm hai vế [*] theo x : 1 1 22zz Cy y C y C x C . Vậy 21 2 3y C x C x C . VD 6. Giải phương trình vi phân 2 [1 2 ] 0y y y với điều kiện 1[0] 0, [0] 2 y y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z y dzy z dy . 2 [1 2 ] 0dzpt z z y dy 22[2 1] 2 2dz y dy z y y C [a]. Thay 10, 0, 2 x y y vào [a] 1 2 C 2 21 22 2 [2 1] 2 dy y y y y dx 2 2 1 2 1[2 1] dy dx x C yy [b]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thay 0, 0x y vào [b] 1C . Vậy phương trình có nghiệm [ 1][2 1] 1 0x y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp 1 Phương trình [5] có hai nghiệm thực phân biệt 1 2, k k . Khi đó, [4] có hai nghiệm riêng 1 21 2, k x k xy e y e và nghiệm tổng quát là 1 21 2 . k x k xy C e C e Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của [4]: 2 1 2 0 [5].k a k a 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 2.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng: 1 2 1 20, , [4].y a y a y a a ¡ Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Trường hợp 2 Phương trình [5] có nghiệm kép thực k . Khi đó, [4] có hai nghiệm riêng 1 2, kx kxy e y xe và nghiệm tổng quát là 1 2 . kx kxy C e C xe Ø Trường hợp 3 Phương trình [5] có hai nghiệm phức liên hợp k i . Khi đó, [4] có hai nghiệm riêng: 1 2cos , sin x xy e x y e x và nghiệm tổng quát là: 1 2cos sin .xy e C x C x 10/13/2012 7 Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 1 22 3 0 1, 3k k k k . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3 1 2, x xy e y e và nghiệm tổng quát là 31 2 x xy C e C e . VD 8. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 6 9 0 3k k k [nghiệm kép]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3 3 1 2, x xy e y xe và nghiệm tổng quát là 3 31 2 x xy C e C xe . VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0y y . Giải. Phương trình đặc trưng: 2 2 2 1,216 0 16 4k k i k i 0, 4 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 1 2cos 4 , sin 4y x y x và nghiệm tổng quát là 1 2cos 4 sin 4y C x C x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y . Giải. Phương trình đặc trưng 2 2 7 0k k có: 2 1,26 6 1 6i k i 1, 6 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 1 2cos 6 , sin 6 x xy e x y e x và nghiệm tổng quát: 1 2cos 6 sin 6xy e C x C x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Phương trình đặc trưng 2 1 0k k có: 2 1,2 1 3 3 3 2 i i k 1 3, 2 2 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: 2 1 2 3 3 cos sin 2 2 x y e C x C x . VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y . Ø Chương 8. Phương trình vi phân • Để tìm 1[ ]C x và 2[ ]C x , ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. C x y x C x y x C x y x C x y x f x a] Phương pháp giải tổng quát • Nếu [4] có hai nghiệm riêng 1 2[ ], [ ]y x y x thì [6] có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2[ ] [ ] [ ] [ ].y C x y x C x y x 2.2.2. Phương trình không thuần nhất • Phương trình không thuần nhất có dạng: 1 1 22 [ ], , [6].ay a y a y f x a ¡ Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân 1 cos y y x [a]. Giải. Xét phương trình thuần nhất 0y y [b] ta có: 2 1 0 0, 1k k i 1 2cos , siny x y x là 2 nghiệm riêng của [b]. Nghiệm tổng quát của [a] có dạng: 1 2[ ].cos [ ].siny C x x C x x . Ta có hệ Wronsky: 1 2 1 2 cos . [ ] sin . [ ] 0 1 sin . [ ] cos . [ ] cos xC x xC x xC x xC x x 10/13/2012 8 Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 1 2 2 1 2 sin cos . [ ] sin . [ ] 0 sin cos . [ ] cos . [ ] 1 x xC x xC x x xC x xC x 1 2 sin [ ] cos [ ] 1 x C x x C x 1 1 2 2 [ ] ln cos [ ] . C x x C C x x C Vậy phương trình [a] có nghiệm tổng quát là: 1 2ln cos cos siny x C x x C x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 13. Cho phương trình vi phân: 22 2 [2 ] xy y y x e [*]. 1] Chứng tỏ [*] có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e . 2] Tìm nghiệm tổng quát của [*]. b] CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Ø Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất [6] bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất [4] với 1 nghiệm riêng của [6]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải 1] 2 2 2[*] [ 4 2] 2[2 ] 2x x xVT x x e x x e x e 2[2 ] [*]xx e VP đpcm. 2] Xét phương trình thuần nhất 2 2 0y y y [**]: 2 1,22 2 0 1k k k i . Suy ra [**] có nghiệm tổng quát: 1 2[ cos sin ] xy e C x C x . Vậy [*] có nghiệm tổng quát là: 2 1 2[ cos sin ] x xy x e e C x C x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x , biết 1 nghiệm riêng là cos2y x . Giải. Phương trình 0y y có: 2 1 20 0, 1k k k k 0y y có nghiệm tổng quát 1 2 xy C C e . Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: 1 2 cos2 xy C C e x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: 1 2 1 2[ ] [ ] [7]y a y a y f x f x . Nếu 1[ ]y x và 2[ ]y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1[ ]y a y a y f x , 1 2 2[ ]y a y a y f x thì nghiệm riêng của [7] là: 1 2[ ] [ ].y y x y x Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x [*]. Cho biết 1y y và cos2y y x lần lượt có nghiệm riêng 1y x , 2 2 1 cos2 sin2 10 10 y x x . Giải. Ta có: 22 cos 1 cos2y y x y y x . Suy ra [*] có nghiệm riêng là: 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x x . 10/13/2012 9 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Mặt khác, phương trình thuần nhất 0y y có nghiệm tổng quát là 1 2 xy C C e . Vậy phương trình [*] có nghiệm tổng quát là: 1 2 2 1 cos 2 sin 2 10 10 xy C C e x x x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Xét phương trình 1 2 [ ] [6]y a y a y f x và 1 2 0 [4].y a y a y • Trường hợp 1: f[x] có dạng eαxPn[x] [ [ ] n P x là đa thức bậc n ]. Bước 1. Nghiệm riêng của [6] có dạng: [ ]m x n y x e Q x [ [ ] n Q x là đa thức đầy đủ bậc n ]. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : 1] Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng của [4] thì 0m . 2] Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của [4] thì 1m . 3] Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của [4] thì 2m . Bước 3. Thế . [ ]m x n y x e Q x vào [6] và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng cần tìm. Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 [ 1]xy y y e x . Giải. Ta có 3 2[ ] [ 1]xf x e x , 2 2 3, [ ] 1P x x . Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2[ ]m xy x e Ax Bx C . Do 3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k nên 1m . Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2[ ]xy xe Ax Bx C . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thế 3 2[ ]xy xe Ax Bx C vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được: 1 1 9 , , 12 16 32 A B C . Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9 12 16 32 xy xe x x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 2x xy y y xe e . Giải. Xét phương trình 2 xy y y xe [1]. Ta có [ ] xf x xe , 1 1, [ ]P x x . Dạng nghiệm riêng của [1] là 1 [ ]m xy x e Ax B . Do 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2 1 0k k nên 0m 1 [ ]xy e Ax B . 10/13/2012 10 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình 2 2 xy y y e [2]. Ta có [ ] 2 xf x e , 0 1, [ ] 2P x . Nghiệm riêng của [2] có dạng m xy Cx e . Do 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng 2 2 1 0k k nên 2m 2 2 xy Cx e . Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: 2 1 2 [ ]x xy y y e Ax B Cx e .
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- baigiangtoancaocap_gv_ngoquangminh_chuong8_0143.pdf