- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:
LG a
\[\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn. \[\sin x\sin 7x = {1 \over 2}\left[ {\cos 6x - \cos 8x} \right]\]và \[\sin 3x\sin 5x = {1 \over 2}\left[ {\cos 2x - \cos 8x} \right]\].
Chú ý thu gọn hai họ nghiệm thành một.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\cos 6x - \cos 8x} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos 8x} \right]\\
\Leftrightarrow \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x\\
\Leftrightarrow \cos 6x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
6x = 2x + k2\pi \\
6x = - 2x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array}\]
Vậy \[x = {{k\pi } \over 4}\].
LG b
\[\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn . \[\sin 5x\cos 3x = {1 \over 2}[\sin 8x + \sin 2x]\] và \[\sin 9x\cos 7x = {1 \over 2}\left[ {\sin 16x + \sin 2x} \right]\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin 16x + \sin 2x} \right]\\
\Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 16x + \sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin 16x = \sin 8x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
16x = 8x + k2\pi \\
16x = \pi - 8x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{{12}}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {{k\pi } \over 4},x = {\pi \over {24}} + {{k\pi } \over {12}}\].
LG c
\[\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x \]\[- \sin 4x\sin 6x = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn.
\[\cos x\cos 3x = {1 \over 2}\left[ {\cos 4x + \cos 2x} \right],\]
\[\sin 2x\sin 6x \]\[= {1 \over 2}\left[ {\cos 4x - \cos 8x} \right]\] và \[\sin 4x\sin 6x = {1 \over 2}\left[ {\cos 2x - \cos 10x} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x \]\[- \sin 4x\sin 6x = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\cos 4x + \cos 2x} \right] - \frac{1}{2}\left[ {\cos 4x - \cos 8x} \right]\\
- \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos 10x} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \cos 4x + \cos 2x - \cos 4x + \cos 8x\\
- \cos 2x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 8x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x\cos 9x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 9x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over {18}} + {{k\pi } \over 9}\]
LG d
\[\sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x \]\[- \sin 2x\sin x = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\[\eqalign{
& \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left[ {\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin 5x[\sin 4x + \sin 2x] = 0 \cr} \]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left[ {\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 5x[\sin 4x + \sin 2x] = 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin 5x.2\sin 3x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 5x = 0\\
\sin 3x = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = k\pi \\
3x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{{k\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]