Bài tập về dạng toàn phương có lời giải năm 2024

Để xét điều kiện của tham số xem khi nào dạng toàn phương là xác định dương, có thể không cần đưa về chính tắc mà sử dụng định lý Sylvester sau (xem giáo trình của trường PTIT – định lý 7.2):

Định lý (Sylvester):

Giả sử dạng toàn phương có ma trận là trong một cơ sở nào đó của . Khi đó:

(i) xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của luôn dương.

(ii) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm.

Ví dụ: Tìm để dạng toàn phương sau xác định dương: .

Hướng dẫn.

Viết ma trận trong cơ sở chính tắc của dạng toàn phương: .

Sử dụng định lý nêu trên, ta có , do đó để dạng toàn phương xđ dương thì hay .

Post navigation

• 1. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ CHƯƠNG 4
• 2. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương 2 '' 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) 2 "( , ) "( , ) 2 xx xy yyd f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy Adx Bdxdy Cdy = + + = + +  Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:  Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2: 2 2 2 2 11 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz= + + + + +
• 3. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến.
• 4. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm xác định như sau: với mỗi :V Rω → 1 2( , ,..., )nx x x x V= ∈
• 5. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 ... 2 2 ... 2 ... 2 .................... n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x ω = + + + + + + + + + + + + được gọi là dạng toàn phương trên V.
• 6. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương: 3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ω ω → = = + − − + + = + − − + + 11a 122a 132a 22a 232a 33a
• 7. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho dạng toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 ... 2 2 ... 2 ... 2 .................... n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x ω = + + + + + + + + + + + + khi đó, ma trận sau:
• 8. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Gọi là ma trận của dạng toàn phương 11 12 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a ω      =       
• 9. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x ω ω → = = + − − + +  Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là: 2 2 3 2 1 1 3 1 8 Aω −   = −   − 
• 10. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x xω = − + + − 1 3 0 3 3 2 0 2 5 Aω −   = −   − 
• 11. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x xω = − + + − − 3 4 5 4 7 4 5 4 3 Aω −   = − −   − − 
• 12. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x xω = + − − + + 1 2 3 2 4 1 3 1 5 Aω −   = −   −   Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:
• 13. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương Nhận xét:  Xác định dấu của các dạng toàn phương sau: .35)( .432)( .523)( .8262)( 2 3 2 2 2 14 2 3 2 2 2 13 2 3 2 2 2 12 323121 2 3 2 2 2 11 xxxx xxxx xxxx xxxxxxxxxx −+= −−−= = −−+= ω ω ω ω
• 14. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo               nna a a 000 ............ 0...0 0...0 22 11
• 15. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương ....)( 22 222 2 111 nnn xaxaxax +++=ω Hay  Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương.
• 16. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x xω = + + + − −
• 17. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 a b a ab b a b ab a b a ab b a b ab + = + + = + + − = − + = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc + − = + + + − − − − = + + − − +
• 18. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 ( ) 2 10 2 4 8 ( 2 ) 6 4 ( 2 ) ( 2 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ω = + + + − − = + − + + − = + − + − + 1 1 2 3 2 2 3 3 3 2 2 y x x x y x x y x = + − = − = 2 2 2 1 2 3( ) 2y y y yω⇒ = + +  Đặt
• 19. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x xω = + + + − − 2 1( )x= 22x+ 33x− 2 22x+ 2 34x+ 2 310x x+ 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x= + − + + + 2 2 1 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x= + − + 3 5 2 x+ 2 3 17 4 x− 2 2 2 1 2 3 2 3 3 5 17 ( 2 3 ) 2( ) 2 2 x x x x x x= + − + + − 2 2 2 1 2 3 17 2 2 y y y= + −
• 20. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 4 2x x x x x x x x x xω = + + + − + 2 1( )x= 22x+ 3x− 2 35x x+ 1 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 , 2 2 y x x x x x x x y y = + − + − = = 2 2 2 1 2 3( ) 5 5y y y yω = + − Đặt
• 21. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x xω = + − − + + 2 1 )(x=
• 22. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x xω = + − + − −           −−− − − = 132 331 212 A
• 23. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương           −−− − − = 132 331 212 A ,2111 == aD0 1,D = 11 12 2 21 22 2 1 5, 1 3 a a D a a = = =  Đặt 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 2 1 2 1 3 3 35, 2 3 1 a a a D a a a a a a − = = − = − − − −
• 24. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Nếu thì dạng toàn phương có dạng chính tắc là: 2 2 20 1 2 1 2 3 1 2 3 ( ) D D D y y y y D D D ω = + + 2 2 2 1 2 3 2 5 35 ( ) 1 2 5 y y y yω − = + + ,...2,1,0 =∀≠ iDi
• 25. §øc TuÊn Đại Số Tuyến Tính ∑ §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x xω = − + − − + −           −− −− −− = 341 422 121 A