Các bài toán về mặt phẳng tọa độ oxy năm 2024

Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

VD1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(3;0;-1), B(1;3;-2), C(3;-4;1). Tìm N thuộc (Oyz) sao cho NA = NB = NC. Giải (Oyz) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT \(\vec{i}=(1;0;0)\) nên có pt: x = 0 \(N\in (Oyz)\Rightarrow N(o;b;c)\) \(\left\{\begin{matrix} NA=NB\\ NA=NC \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} NA^2=NB^2\\ NA^2=NC^2 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (0-3)^2+(b-0)^2+(c+1)^2=(0-1)^2+(b-3)^2+(c+2)^2\\ (0-3)^2+(b-0)^2+(c+1)^2=(0-3)^2+(b+4)^2+(c-1)^2 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9+b^2+c^2+2c+1=1+b^2-6b+9+c^2+4c+4\\ 9+b^2+c^2+2c+1=9+b^2+8b+16+c^2-2c+1 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6b-2c=4\\ 8b-4c=-16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b-c=2\\ 2b-c=-4 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=6\\ c=16 \end{matrix}\right.\) Vậy N(0;6;16) VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;1), B(0;-1;2), C(1;0;3). Tìm tọa độ điểm P thuộc (Oxy) sao cho \(a) \ \left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | \ \ {min}\) \(b) \ PA^2+PB^2+PC^2 \ \ min\) Giải (Oxy) đi qua O và có 1 VTPT \(\vec{k}=(0;0;1)\) pt (Oxy): z = 0 \(P\in (Oxy)\Rightarrow P(a;b;0)\)

1. G là điểm sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C)=\frac{1}{3}(2+0+1)=1 \ \ \\ y_G=\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C)=\frac{1}{3}(3+(-1)+0)=\frac{2}{3}\\ z_G=\frac{1}{3}(z_A+z_B+z_C)=\frac{1}{3}(1+2+3)=2 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\) \(G(1;\frac{2}{3};2)\) Cách 1: \(\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | =\left | 3\overrightarrow{PG} \right |=3PG\) \(\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | \ \ {min}\Leftrightarrow PG \ min\) ⇔ P là hình chiếu của G lên (Oxy) \(\Leftrightarrow P(1;\frac{2}{3};0)\)
   Cách 2: \(\overrightarrow{PA}=(2-a;3-b;1)\) \(\overrightarrow{PB}=(-a;-1-b;2)\) \(\overrightarrow{PC}=(1-a;-b;3)\) \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = (3-3a;2-3b;6)\) \(\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right |= \sqrt{(3-3a)^2+(2-3b)^2+6^2}\geq 6\) \(\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | _{min}= 6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-3a=0\\ 2-3b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\) Vậy \(P(1;\frac{2}{3};0)\)
2. Cách 1: \(T=PA^2+PB^2+PC^2=\overrightarrow{PA}^2+\overrightarrow{PB}^2+ \overrightarrow{PC}^2\) \(=(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA})^2+ (\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB})^2+ (\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC})^2\) \(=PG^2+2\overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GA}+GA^2+PG^2+ 2\overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GB}+GB^2+PG^2+2 \overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GC}+GC^2\) \(=3PG^2+2\overrightarrow{PG}\underset{\overrightarrow{0}}{(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC})}+GA^2+GB^2+GC^2\) \(=3PG^2+\underset{0 \ doi}{GA^2+GB^2+GC^2}\) \(T_{min}\Leftrightarrow 3PG^2_{min}\) mà \(P \in(Oxy)\) nên P là hình chiếu của G trên (Oxy) Suy ra \(P(1;\frac{2}{3};0)\) Cách 2: \(PA^2=(2-a)^2+(3-b)^2+1=a^2+b^2-4a-6b+14\) \(PB^2=(-a)^2+(-1-b)^2+2^2=a^2+b^2+2b+5\) \(PC^2=(1-a)^2+(-b)^^2+3^2=a^2+b^2-2a+10\) \(PA^2+PB^2+PC^2=3a^2-6a+3b^2-4b+29\) \(=3(a^2-2a+1)+3(b^2-\frac{4}{3}b+\frac{4}{9})+\frac{223}{9}\) \(=3(a-1)^2+3(b-\frac{2}{3})^2+\frac{223}{9}\geq \frac{223}{9}\) \(T_{min}=\frac{223}{9} \ khi \ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\) Vậy \(P(1;\frac{2}{3};0)\) VD3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;3;1), B(0;0;2), C(1;0;3). Tìm điểm M trên (Oxz) sao cho \(\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |_{min}\) Giải Cách 1: Gọi I(a;b;c) là điểm sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{IA}=(2-a;3-b;1-c)\) \(\overrightarrow{IB}=(-a;-b;2-c)\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}=(-2a;-2b;4-2c)\) \(\overrightarrow{IC}=(1-a;-b;3-c)\Rightarrow 3\overrightarrow{IC}=(3-3a;-3b;9-3c)\) \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} =(5-6a;3-6b;14-6c)\) \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} =\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5-6a=0\\ 3-6b=0\\ 14-6c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{6}\\ \\ b=\frac{1}{2}\\ \\c=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.\) \(I(\frac{5}{6};\frac{1}{2};\frac{7}{3})\) \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})\) \(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=6\overrightarrow{MI}\) \(T=\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC} \right |=6MI\) Tmin ⇔ MI min, mà \(M\in (Oxz)\) nên M là hình chiếu của I trên (Oxz) hay \(M(\frac{5}{6};0;\frac{7}{3})\) Cách 2: \(M\in (Oxz)\Rightarrow M(a;0;c)\) \(\overrightarrow{MA}=(2-a;3;1-c)\) \(\overrightarrow{MB}=(-a;0;2-c)\Rightarrow 2\overrightarrow{MB} =(-2a;0;4-2c)\) \(\overrightarrow{MC}=(1-a;0;3-c)\Rightarrow 3\overrightarrow{MC} =(3-3a;0;9-3c)\) \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=( 5-6a;3,14-6c)\) \(T=\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |=\sqrt{(5-6a)^2+9+(14-6c)^2}\geq 9\) \(T_{min}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5-6a=0\\ 14-6c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{6}\\ \\ c=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.\) Vậy \(M(\frac{5}{6};0;\frac{7}{3})\) Chú ý: Nếu \(x\overrightarrow{IA}+y\overrightarrow{IB}+z\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) Thì \(x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}= (x+y+z).\overrightarrow{MI}\)

NỘI DUNG KHÓA HỌC