Có bao nhiêu cặp số (x, y) thỏa mãn x ∈ n ∗ và ln(1 + x + y) = y + 2x − 5?

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \[{4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 \Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48\].

Vì \[x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < y\] nên ta thử các TH sau:

+ Với \[x = 1,\,\,y = 2\] ta có: \[4 + 32 = 64 - 16 + 48 \Leftrightarrow 36 = 96\] [Vô lí].

\[ \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow VT = {4^x} + 32x \ge 80\,\,\left[ 1 \right]\].

Xét hàm số \[f\left[ y \right] = 32y - {4^y} + 48\] ta có \[f'\left[ y \right] = 32 - {4^y}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow y = {\log _4}\dfrac{{32}}{{\ln 4}}\].

BBT:

Vì \[y \in {\mathbb{N}^*}\] nên \[f\left[ y \right] = 32y - {4^y} + 48 \in {\mathbb{N}^*}\], dựa vào BBT \[ \Rightarrow f\left[ y \right] \le 97\,\,\left[ 2 \right]\].

Từ [1] và [2]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 80 \le f\left[ y \right] \le 97 \Rightarrow 80 \le VP \le 97 \Rightarrow 80 \le VT \le 97\\ \Rightarrow 80 \le {4^x} + 32x \le 97\,\,\left[ * \right]\end{array}\].

Hàm số \[g\left[ x \right] = {4^x} + 32x\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\], do đó từ [*] ta suy ra \[x = 2\].

Với \[x = 2\] ta có \[80 = 32y - {4^y} + 48 \Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32\], sử dụng MODE7 ta tìm được \[y = 3\].

Vậy có 1 cặp số \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2;3} \right]\].\[\]

Chọn D.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'[x] 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x] 3. Lập BBT xét dấu g'[x]

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

Xét hàm số \[f\left[ t \right] = t + {{\rm{e}}^t} \Rightarrow f’\left[ t \right] = 1 + {{\rm{e}}^t} > 0\,,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\]\[\left[ 1 \right]\]. Theo đề ra: \[x + \ln x = y + {{\rm{e}}^y}\]\[ \Leftrightarrow \]\[f\left[ {\ln x} \right] = f\left[ y \right]\] \[\left[ 2 \right]\]. Từ \[\left[ 1 \right]\], \[\left[ 2 \right]\] suy ra \[\ln x = y \Leftrightarrow x = {{\rm{e}}^y}\]. Để \[1 \le x \le 2020\] thì \[1 \le {{\rm{e}}^y} \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y \le \ln 2020\]. \[\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{Z}\\1 \le y \le 2020\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow y \in \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7} \right\}\]. Với mỗi giá trị \[y \in \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7} \right\}\] ta có một giá trị \[x\] tương ứng thuộc đoạn \[\left[ {1\,;2020} \right]\]

Vậy có 7 cặp số \[\left[ {x\,;y} \right]\] thỏa mãn.

Reader Interactions

Phân tích đa thức \[{a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\] thành  nhân tử ta được

Đa thức \[{x^2} + x - 2ax - 2a\] được phân tích thành

Tính nhanh: \[37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2\]

Tìm \[x\] biết \[{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\]

Có bao nhiêu giá trị của \[x\] thỏa mãn \[{x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\]

Với \[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\] thì

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Chứng minh phương trình \[{3^x} - x - 1 = 0\] vô nghiệm bằng phương pháp hàm số.

- Rút \[y\] theo \[x\]. Tìm dạng của số nguyên dương \[x\] và chặn giá trị của \[x\]. Từ đó suy ra số cặp \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{3^{x + y}} - {x^2}\left[ {{3^x} - 1} \right] = \left[ {x + 1} \right]{.3^y} - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^x}{.3^y} - \left[ {x + 1} \right]{.3^y} = {x^2}\left[ {{3^x} - 1} \right] - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^y}\left[ {{3^x} - x - 1} \right] = {x^2}\left[ {{3^x} - 1 - x} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ {{3^x} - x - 1} \right]\left[ {{3^y} - {x^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} - x - 1 = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\{3^y} - {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.\end{array}\]

Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {3^x} - x - 1\] với \[x > 0\] ta có: \[f'\left[ x \right] = {3^x}\ln 3 - 1 > \ln 3 - 1 > 0\,\,\forall x > 0\], do đó hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\]  \[ \Rightarrow f\left[ x \right] > f\left[ 0 \right] = 0\,\,\forall x > 0\]. Vậy phương trình [1] vô nghiệm.

Xét phương trình [2] \[ \Leftrightarrow {3^y} = {x^2} \Leftrightarrow y = {\log _3}{x^2} = 2{\log _3}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\].

Vì \[y \in {\mathbb{N}^*}\] nên \[x\] có dạng \[x = {3^k}\], theo bài ra ta có \[x < 2020 \Leftrightarrow {3^k} < 2020 \Leftrightarrow k < {\log _3}2020 \approx 6,9\].

Mà \[x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x > 1\] nên \[k \in \mathbb{N}\], \[k > 0\], do đó \[k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\].

Ứng với mỗi giá trị của \[k\] cho ta một cặp số nguyên dương \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 6 cặp số nguyên dương \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn.

Chọn C.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \[{4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 \Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48\].

Vì \[x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < y\] nên ta thử các TH sau:

+ Với \[x = 1,\,\,y = 2\] ta có: \[4 + 32 = 64 - 16 + 48 \Leftrightarrow 36 = 96\] [Vô lí].

\[ \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow VT = {4^x} + 32x \ge 80\,\,\left[ 1 \right]\].

Xét hàm số \[f\left[ y \right] = 32y - {4^y} + 48\] ta có \[f'\left[ y \right] = 32 - {4^y}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow y = {\log _4}\dfrac{{32}}{{\ln 4}}\].

BBT:

Vì \[y \in {\mathbb{N}^*}\] nên \[f\left[ y \right] = 32y - {4^y} + 48 \in {\mathbb{N}^*}\], dựa vào BBT \[ \Rightarrow f\left[ y \right] \le 97\,\,\left[ 2 \right]\].

Từ [1] và [2]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 80 \le f\left[ y \right] \le 97 \Rightarrow 80 \le VP \le 97 \Rightarrow 80 \le VT \le 97\\ \Rightarrow 80 \le {4^x} + 32x \le 97\,\,\left[ * \right]\end{array}\].

Hàm số \[g\left[ x \right] = {4^x} + 32x\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\], do đó từ [*] ta suy ra \[x = 2\].

Với \[x = 2\] ta có \[80 = 32y - {4^y} + 48 \Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32\], sử dụng MODE7 ta tìm được \[y = 3\].

Vậy có 1 cặp số \[\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2;3} \right]\].\[\]

Chọn D.