Đề bài - bài 16 trang 75 sgk toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường phân giác \(BD, CE\) (\(D AC, E AB\)). Chứng minh rằng \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải chi tiết

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\) (tính chất tam giác cân)

Vì \(BD, CE\) lần lượt là phân giác của\(\widehat {ABC}\) và\(\widehat {ACB}\)(giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\\
\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}
\end{array} \right.\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

Xét \(ABD\) và \(ACE\) có:

+) \(AB = AC\)(chứng minh trên)

+) \(\widehat{A}\)chung

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \)

\(\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Ta có \(AD = AE\)(chứng minh trên) nên \(ADE\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\)(tính chất tam giác cân)

Xét \(ADE\) có: \(\widehat {A{\rm{ED}}} +\widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat{A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Xét \(ABC\) có: \(\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\)(định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC}= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\) =\(\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BEDC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có\(\widehat{ABC}\) =\(\widehat{ACB}\)(chứng minh trên)

Nên \(BEDC\) là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có:

\(DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\)(so le trong)

Lại có\(\widehat{B_{2}}\) =\(\widehat{B_{1}}\)(chứng minh trên)nên\(\widehat{B_{1}}\) =\(\widehat{{D_{1}}}\)

\( \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân).

Vậy \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.