Đề bài
Rút gọn các biểu thức:
\[M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \]
\[N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức hằng đẳng thức: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\;\;khi\;\;\;A \ge 0\\- A\;\;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết
\[\eqalign{& M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \cr & =\sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2} - 2\sqrt 2 .1 + {1^2}} \cr&\;\;\;\;- \sqrt {{{\left[ 2 \right]}^2} + 2.2.\sqrt 2 + {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}^2}} - \sqrt {{{\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]}^2}} \cr & = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| - \left| {2 + \sqrt 2 } \right| \cr & = \sqrt 2 - 1 - 2 - \sqrt 2 = - 3 .\cr} \]
\[\eqalign{
& N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \cr
& \Rightarrow {N^2} = {\left[ {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right]^2} \cr
& = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} + 2 - \sqrt 3 \cr
& = 4 + 2\sqrt {4 - 3} = 6. \cr} \]
Vì \[N > 0\] nên \[N^2= 6 N = \sqrt6.\]
Vậy \[N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6. \]
Cách khác để tính N: