Đề bài
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] có bán kính là:
[A] \[{{\sqrt 3 } \over 2}\]; [B] \[\sqrt2\] ;
[C] \[\sqrt3\]; [D] \[{3 \over 4}\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.
Suy ra bán kính của mặt cầu:\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]
Lời giải chi tiết
Phương trình tổng quát của mặt cầungoại tiếp tứ diện ABCD là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
Mặt cầu đi qua \[A,B,C,D\] nên ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0 \,\,\,\, [1] \hfill \cr
1 - 2b + d = 0 \,\,\,\, [2] \hfill \cr
1 - 2c + d = 0 \,\,\,\, [3] \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \,\,\,\, [4] \hfill \cr} \right.\]
Lấy \[[1]+[2]+[3]-[4]\] ta được: \[d = 0\]
Thế lần lượt vào các phương trình [1], [2], [3], [4] ta suy ra: \[a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\]
Vậy bán kính \[{R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Chọn [A].