Đề bài
Cho \[a, b, c > 0\]. Chứng minh rằng: \[{{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b}}{c} + \dfrac{{b + c}}{a} + \dfrac{{c + a}}{b} \\= \left[ {\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right] + \left[ {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}} \right] + \left[ {\dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b}} \right]\\
= \left[ {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right] + \left[ {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right] + \left[ {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right].
\end{array}\]
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương
\[\dfrac{a}{c}\] và \[\dfrac{c}{a}\] ta có: \[\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}} = 2.\sqrt 1 = 2\]
\[\dfrac{b}{a}\] và \[\dfrac{a}{b}\] ta có: \[\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}} = 2.\sqrt 1 = 2\]
\[\dfrac{c}{b}\] và \[\dfrac{b}{c}\] ta có: \[\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}} = 2.\sqrt 1 = 2\]
Cộng vế với vế các bđt ta được:
\[\begin{array}{l}\left[ {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right] + \left[ {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right] + \left[ {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right]\\ \ge 2 + 2 + 2 = 6\\ \Rightarrow dpcm\end{array}\]
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}\\\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2}\\{b^2} = {a^2}\\{c^2} = {b^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2}\] \[ \Leftrightarrow a = b = c\] [do \[a,b,c > 0\]]
Vậy\[{{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\]