Đề bài - bài 86 trang 51 sbt hình học 10 nâng cao
b) Gọi \(M, N, P\) lần lượt là các tiếp điểm của \(BC, CA, AB\) với đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) (h.72). Đề bài Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0} , a = 10 , r = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\). a) Tính \(R.\) b) Tính \(b, c.\) Lời giải chi tiết a) Ta có \(2R = \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3} \) \( \Rightarrow R = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\). b) Gọi \(M, N, P\) lần lượt là các tiếp điểm của \(BC, CA, AB\) với đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) (h.72). Ta có \(AP = AN = r.\cot {30^0} = 5 ; \) \(BP + NC = BM + MC = a = 10\). Từ đó ta có \((b - AN) + (c - AP) = 10\) hay \(b+c=20.\) (1) Theo định lí cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {60^0}\) hay \({a^2} = {(b + c)^2} - 2bc - bc\), suy ra \(bc = \dfrac{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}{3}\) \( = \dfrac{{{{20}^2} - {{10}^2}}}{3} = 100\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(b, c\) là nghiệm của phương trình bậc hai \({x^2} - 20x + 100 = 0\). Phương trình này có nghiệm kép \(b=c=10\) nên \(ABC\) là tam giác đều.
|