Đề bài
Cho hình thang cân ABCD có diện tích 50 cm2 và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh.
a] Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b] Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Lời giải chi tiết
a] M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt]
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác ABC \[ \Rightarrow MN//AC\] và \[MN = {{AC} \over 2}\,\,\left[ 1 \right]\]
Q, P lần lượt là trung điểm của AD và CD [gt]
\[ \Rightarrow QP\] là đường trung bình của tam giac ADC \[ \Rightarrow QP//AC\] và \[QP = {{AC} \over 2}\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow MN = QP\] và \[MN//QP\]
Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Q, M lần lượt là trung điểm của AD và AB [gt]
\[ \Rightarrow QM\] là đường trung bình của tam giác ABD \[ \Rightarrow QM = {{BD} \over 2}\]
Mà \[MN = {{AC} \over 2}\] và \[BD = AC\] [ABCD là hình thang cân] nên \[QM = MN\]
Hình bình hành MNPQ có \[QM = MN\] nên là hình thoi.
b] Hình thang ABCD [AB // CD] có Q, N lần lượt là trung điểm của AD và BC [gt]
\[ \Rightarrow QN\] là đường trung bình của hình thang ABCD \[ \Rightarrow QN = {{AB + CD} \over 2}\] và \[QN // DC\]
Ta có \[QN \bot MP\] [MNPQ là hình thoi] và QN // DC \[ \Rightarrow MP \bot DC \Rightarrow MP\] là đường cao của hình thang ABCD.
\[{S_{MNPQ}} = MP.QN = MP.{{AB + CD} \over 2} = {{MP\left[ {AB + CD} \right]} \over 2} = {S_{ABCD}} = 50\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]