Đề bài - đề kiểm tra 15 phút - chương 6 - đề số 2 - đại số 10

Đề bài

Chọn phương án đúng

Câu 1. Nếu \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\) thì \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \) bằng

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

Câu 2. Cho \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\) . Khi giá trị của biểu thức \(P = 3{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha \) là

A. \(\dfrac{7}{4}\)

B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(7\)

D. \(\dfrac{{13}}{4}\)

Câu 3. Giá trị của biểu thức \(S = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}12^\circ + {\cos ^2}78^\circ + {\cos ^2}89^\circ \)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Câu 4. Biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}\) và \(0 \le x \le \pi \) . Khi đó \(\tan \alpha \) bằng

A.\( - \dfrac{4}{3}\)

B.\( - \dfrac{3}{4}\)

C.\( \pm \dfrac{4}{3}\)

D. Một giá trị khác

Câu 5. Nếu \(\tan \alpha = \sqrt 7 \) thì \(\sin \alpha \) bằng

A.\(\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\)

B.\( - \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\)

C.\( - \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\)

D.\( \pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Câu 6. Giá trị của \(\dfrac{1}{{\sin 18^\circ }} - \dfrac{1}{{\sin 54^\circ }}\) bằng

A. \(\dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{1 \pm \sqrt 2 }}{2}\)

C. \(2\)

D. \(-2\)

Câu 7. Số đo bằng độ của góc \(x\) dương nhỏ nhất thỏa mãn \(\sin 6x + \cos 4x = 0\) là

A. \(9^\circ \)

B. \(18^\circ \)

C. \(27^\circ \)

D. \(45^\circ \)

Câu 8. Cho \(\tan x = \dfrac{1}{2},\tan y = \dfrac{1}{3}\) với \(x,y \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(x + y\) bằng

A. \(\dfrac{\pi }{2}\)

B. \(\dfrac{\pi }{3}\)

C. \(\dfrac{\pi }{6}\)

D. \(\dfrac{\pi }{4}\)

Câu 9. Nếu \(\sin x = 3\cos x\) thì \(\sin 2x\) bằng

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(\dfrac{3}{5}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{4}{9}\)

Câu 10. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 6{\cos ^2}x + 6\sin x - 2\) là

A. \(\dfrac{{11}}{2}\)

B. \(4\)

C. \(10\)

D. \(\dfrac{3}{2}\)

Lời giải chi tiết

Câu 1. C

Ta có

\({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \)

\(= {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha \)

\(= 4 - 2 = 2\).

Câu 2. D

\(P = 3{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha \)

\(\;\;\;\;= 3\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) + 4{\cos ^2}\alpha \)

\( \;\;\;\;= 3 + {\cos ^2}\alpha = 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{13}}{4}.\)

Câu 3. B

\(S = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}12^\circ + {\cos ^2}78^\circ + {\cos ^2}89^\circ \)

\(\;\;\; = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}12^\circ + {\sin ^2}12^\circ + {\sin ^2}1^\circ\)

\(\;\;\; = 2\)

Câu 4. A

Ta có:

\(1 = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \)

\(\;\;\;= {\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{1}{5} - \sin \alpha } \right)^2} \)

\(\;\;\;= 2{\sin ^2}\alpha - \dfrac{2}{5}\sin \alpha + \dfrac{1}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \dfrac{2}{5}\sin \alpha - \dfrac{{24}}{{25}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \dfrac{4}{5}\\\sin \alpha = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\)

Do \(0 \le x \le \pi \) nên \(\sin \alpha \ge 0\). Chọn \(\sin \alpha = \dfrac{4}{5}\).

Suy ra \(\cos \alpha = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} = - \dfrac{3}{5}\).

Vậy \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \dfrac{4}{3}\).

Câu 5. D

Ta có: \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + 7 = 8\).

Suy ra \({\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{8}\). Do đó \(\cos \alpha = \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

Vậy \(\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\).

Câu 6. C

Ta có \(\dfrac{1}{{\sin 18^\circ }} - \dfrac{1}{{\sin 54^\circ }} = \dfrac{{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }} \)\(\,= \dfrac{{2\cos 36^\circ \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }} = 2\)

Câu 7. C

Ta có: \(\sin 6x + \cos 4x = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin 6x + \sin \left( {90^\circ - 4x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + 45^\circ } \right)\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = 0.\)

Với \(x = 27^\circ \) thì \(5x - 45^\circ = 90^\circ \) nên \(\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = 0.\)

Câu 8. D

Ta có: \(\tan \left( {x + y} \right) = \dfrac{{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} + \tan y}}{{1 - {\mathop{\rm tanx}\nolimits} {\mathop{\rm tany}\nolimits} }}\)\(\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{6}}}{{\dfrac{5}{6}}} = 1\).

Do \(x,y \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên \(0 < x + y < \pi \). Suy ra \(x + y = \dfrac{\pi }{4}\).

Câu 9. B

Ta có \(1 = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 9{\cos ^2}x + {\cos ^2}x \)\(\,= 10{\cos ^2}x\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{1}{{10}} \)

Vậy \(\sin 2x = 2\sin x\cos x = 6{\cos ^2}x= \dfrac{6}{{10}}= \dfrac{3}{5}.\)

Câu 10. A

Ta có:

\(F = 6\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 6\sin x - 2 \)

\(\;\;\;= 4 + 6\sin x - 6{\sin ^2}x\)

\(\;\;\; = 4 - 6\left( {{{\sin }^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right) \)

\(\;\;\;= 4 - 6\left[ {\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{4}} \right]\)

\(\;\;\;= \dfrac{{11}}{2} - 6{\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\).

Suy ra giá trị lớn nhất của \(F\) là \(\dfrac{{11}}{2}\) đạt được khi \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \dfrac{1}{2}\).