Đề bài
Lập phương trình mặt phẳng \[[α]\] đi qua hai điểm \[A[ 1; 0 ; 1], B[5 ; 2 ; 3]\] và vuông góc với mặt phẳng \[[\beta]\]: \[2x - y + z - 7 = 0\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Mặt phẳng \[ [\alpha] \bot [\beta]\] thì:\[\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\]
+]Mặt phẳng \[ [\alpha]\] đi qua hai điểm \[A,\, \, B\] thì:\[\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right].\]
+] Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng:Phương trình mặt phẳng \[[\alpha]\] đi qua \[M[x_0;\, \, y_0;\,\, z_0]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;\;b;\;c} \right]\] có dạng: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] + c\left[ {z - {z_0}} \right] = 0.\]
Lời giải chi tiết
Ta có:\[\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {2; - 1;\;1} \right];\;\;\overrightarrow {AB} = \left[ {4;\;2;\;2} \right].\]
Theo đề bài ta có:\[ [\alpha]\bot [\beta] \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\]
Mặt phẳng \[ [\alpha]\] đi qua hai điểm \[A,\, \, B\] thì:\[\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\]
Ta có: \[ \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right] \\= \left[ { - 4;0;\;8} \right] = - 4\left[ {1;\;0;\;-2} \right]. \]
Mặt phẳng \[[\alpha]\] đi qua \[A[1;\, 0;\,1]\] và nhận vecto \[ \overrightarrow {{n_\alpha }} =\left[ {1;\;0;\;-2} \right]\] làm VTPT có phương trình: \[x-1-2[z-1]=0 \]
\[\Leftrightarrow x-2z+1=0.\]