TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 9 LUYỆN THI LỚP 10 A. Kiến thức cần nhớ.1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A ≥ 02. Các công thức biến đổi căn thức.a. 2A A=b. . [ 0; 0]AB A B A B= ≥ ≥c. [ 0; 0]A AA BBB= ≥ >d. 2[ 0]A B A B B= ≥e. 2[ 0; 0]A B A B A B= ≥ ≥ 2[ 0; 0]A B A B A B= − < ≥ f. 1[ 0; 0]AAB AB BB B= ≥ ≠i. [ 0]A A BBBB= >k. 22[ ][ 0; ]C C A BA A BA BA B= ≥ ≠−±mm. 2[ ][ 0; 0; ]C C A BA B A BA BA B= ≥ ≥ ≠−±m3. Hàm số y = ax + b [a ≠ 0]- Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.- Đồ thị:Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A[0;b]; B[-b/a;0].4. Hàm số y = ax2 [a ≠ 0]- Tính chất: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.- Đồ thị: Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O[0;0].+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳngXét đường thẳng y = ax + b [d] và y = a'x + b' [d'][d] và [d'] cắt nhau ↔ a ≠ a'[d] // [d'] ↔ a = a' và b ≠ b'[d] ≡ [d'] ↔ a = a' và b = b'tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 96. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.Xét đường thẳng y = ax + b [d] và y = ax2 [P][d] và [P] cắt nhau tại hai điểm[d] tiếp xúc với [P] tại một điểm[d] và [P] không có điểm chung7. Phương trình bậc hai.Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn∆ = b2 - 4acNếu ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx21∆+−= ; abx22∆−−=Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép : abxx221−==Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm∆' = b'2 - ac với b = 2b'- Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx''1∆+−= ; abx''2∆−−=- Nếu ∆' = 0 : Phương trình có nghiệm kép: abxx'21−== - Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô nghiệm8. Hệ thức Viet và ứng dụng.- Hệ thức Viet:Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a≠0] thì:1 21 2.bS x xacP x xa−= + == =- Một số ứng dụng:+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình:x2 - Sx + P = 0[Điều kiện S2 - 4P ≥ 0]+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a≠0]Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:x1 = 1 ; x2 = caNếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:x1 = -1 ; x2 = ca−9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trìnhBước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trìnhBước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trìnhBước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận2tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9B. các dạng bài tậpDạng 1: Rút gọn biểu thứcBài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:- Quy đồng mẫu thức [nếu có] - Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức [nếu có] - Trục căn thức ở mẫu [nếu có] - Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.Dạng 2: Bài toán tính toánBài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A. Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rútgọn biểu thức ABài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A[x] biết x = a Cách giải:- Rút gọn biểu thức A[x].- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.Dạng 3: Chứng minh đẳng thứcBài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phương pháp chứng minh:- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.A = B ↔ A - B = 0- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.A = A1 = A2 = ... = B- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.A = A1 = A2 = ... = CB = B1 = B2 = ... = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.A = B ↔ A' = B' ↔ A" = B" ↔ ...... ↔[*][*] đúng do đó A = B- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.- Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thứcBài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi:3A = Btổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9nnnaaaanaaaa........321321≥++++ [với 0.....321≥naaaa]Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: naaaa====...321 - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:Với mọi số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn[ ]]...][...[...223222122322212332211 nnnnbbbbaaaababababa++++++++≤++++Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: nnbabababa====...332211 Một số phương pháp chứng minh:- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩaA > B ↔ A - B > 0- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếpA = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nếu M ≠ 0- Phương pháp 3: Phương pháp tương đươngA > B ↔ A' > B' ↔ A" > B" ↔ ...... ↔[*][*] đúng do đó A > B- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầuA > C và C > B → A > B- Phương pháp 5: Phương pháp phản chứngĐể chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tươngđương để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.- Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết.- Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp.- Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ.Dạng 5: bài toán liên quan tới phương trình bậc haiBài toán 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a≠0] Các phương pháp giải:- Phương pháp 1: Phân tích đưa về phương trình tích.- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc haix2 = a → x = ±a- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệmTa có ∆ = b2 - 4ac+ Nếu ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx21∆+−= ; abx22∆−−=+ Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép abxx221−==+ Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọnTa có ∆' = b'2 - ac với b = 2b'+ Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx''1∆+−= ; abx''2∆−−=4tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9+ Nếu ∆' = 0 : Phương trình có nghiệm kép abxx'21−==+ Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô nghiệm- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a≠0] thì:=−=+acxxabxx2121.Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phương trình luôn có hainghiệm phân biệt.Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ]. Xét hệ số a: Có thể có 2 khả nănga. Trường hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.Giả sử a = 0 ↔ m = m0 ta có: [*] trở thành phương trình bậc nhất ax + c = 0 [**]+ Nếu b ≠ 0 với m = m0: [**] có một nghiệm x = -c/b + Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: [**] vô định ↔ [*] vô định+ Nếu b = 0 và c ≠ 0 với m = m0: [**] vô nghiệm ↔ [*] vô nghiệmb. Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ hoặc ∆' + Tính ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx21∆+−= ; abx22∆−−= Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép : abxx221−== Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm+ Tính ∆' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ∆' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:abx''1∆+−= ; abx''2∆−−= Nếu ∆' = 0 : Phương trình có nghiệm kép: abxx'21−== Nếu ∆' < 0 : Phương trình vô nghiệm- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ] có nghiệm. Có hai khả năng để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:1. Hoặc a = 0, b ≠ 02. Hoặc a ≠ 0, ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 05tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặcđiều kiện 2.Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ a, b, c phụ thuộc tham số m ] có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt >∆≠00a hoặc>∆≠00'aBài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ] có 1 nghiệm. Điều kiện có một nghiệm:≠=00ba hoặc=∆≠00ahoặc =∆≠00'aBài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ] có nghiệm kép. Điều kiện có nghiệm kép: =∆≠00ahoặc =∆≠00'aBài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ] vô nghiệm. Điều kiện có một nghiệm: =≥∆00'acPBài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [a, b, c phụ thuộc tham số m] có 2 nghiệm dương. Điều kiện có hai nghiệm dương:6tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9 >−=>=≥∆000abSacP hoặc >−=>=≥∆000'abSacPBài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ] có 2 nghiệm âm. Điều kiện có hai nghiệm âm: =≥∆000abSacP hoặc =≥∆000'abSacPBài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ a, b, c phụ thuộc tham số m] có 2 nghiệm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:P < 0 hoặc a và c trái dấu.Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [*] [ a, b, c phụ thuộc tham số m] có một nghiệm x = x1. Cách giải:- Thay x = x1 vào phương trình [*] ta có: ax12 + bx1 + c = 0 → m- Thay giá trị của m vào [*] → x1, x2- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 = 1xPBài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0 [ a, b, c phụ thuộc tham số m] có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãncác điều kiện:a. γβα=+21xxb. kxx=+2221c. nxx=+2111d. hxx≥+2221e. txx=+3231 Điều kiện chung: ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0 [*]Theo định lí Viet ta có: ===−=+]2[.]1[2121PacxxSabxx a. Trường hợp: γβα=+21xx7tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9Giải hệ =+−=+γβα2121xxabxxThay x1, x2 vào [2] → mChọn các giá trị của m thoả mãn [*]b. Trường hợp: kxxxxkxx=−+↔=+2122122212][ Thay x1 + x2 = S = ab− và x1.x2 = P = ac vào ta có: S2 - 2P = k → Tìm được giá trị của m thoả mãn [*]c. Trường hợp: ncbxnxxxnxx=−↔=+↔=+212121.11Giải phương trình - b = nc tìm được m thoả mãn [*]d. Trường hợp: 0222221≥−−↔≥+hPShxx Giải bất phương trình S2 - 2P - h ≥ 0 chọn m thoả mãn [*]e. Trường hợp: tPSStxx=−↔=+333231Giải phương trình tPSS=−33 chọn m thoả mãn [*]Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = Pcủa chúng. Ta có u và v là nghiệm của phương trình:x2 - Sx + P = 0 [*][Điều kiện S2 - 4P ≥ 0]Giải phương trình [*] ta tìm được hai số u và v cần tìm.Nội dung 6: giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụBài toán1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 Đặt t = x2 [t≥0] ta có phương trình at2 + bt + c = 0Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn xBảng tóm tắtat2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0vô nghiệm vô nghiệm2 nghiệm âm vô nghiệmnghiệm kép âm vô nghiệm1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau2 nghiệm dương4 nghiệm 2 cặp nghiệm đối nhau8x1, x2