Giải bài tập toán hình nâng cao 11 trang 29 năm 2024
Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N Lời giải chi tiết Đặt \(IO = d (d ≠ 0)\). Theo tính chất đường phân giác của tam giác MOI, ta có: \({{IN} \over {NM}} = {{IO} \over {OM}} = {d \over R}\) Suy ra \({{IN} \over {IN + NM}} = {d \over {d + R}} \Leftrightarrow {{IN} \over {IM}} = {d \over {d + R}}\) Vì hai vecto \(\overrightarrow {IN} \) và \(\overrightarrow {IM} \) cùng hướng nên đẳng thức trên có nghĩa là:\(\overrightarrow {IN} = {d \over {d + R}}\overrightarrow {IM} \) Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số \(k = {d \over {d + R}}\) thì V biến điểm M thành điểm N Khi M ở vị trí M0trên đường tròn (O ; R) sao cho \(\widehat {IO{M_0}} = {0^ \circ }\) thì tia phân giác của góc \(\widehat {IO{M_0}}\) không cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O ; R) (M khác hẳn M0) thì quỹ tích điểm N là ảnh của (O ; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0 Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định Lời giải chi tiết Cách 1: Kéo dài BC cắt (O’) tại B’ Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B'} \) và \(\overrightarrow {O''B} \) ngược hướng Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O''B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng Vậy hai vecto \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng (cùng ngược hướng với \(\overrightarrow {O''B} \)) Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’) Các phép sau đây có phải là phép vị tự hay không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác \(\vec 0\)? Giải Phép đối xứng tâm qua O là phép vị tự tâm O tỉ số -1 Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối cặp điểm tương ứng không đồng quy Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bất kì và tỉ số \(k = 1\) Phép tịnh tiến theo vecto khác \(\vec 0\) không phải là phép vị tự vì không có điểm nào biến thành chính nó Câu 26 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao Các khẳng định sau đây có đúng không ?
Giải
Vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất nên mọi điểm đều bất động Câu 27 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau :
Giải Gọi I là tâm vị tự ngoài, I’ là tâm vị tự trong của hia đường tròn \((O)\) và \((O’)\)
Câu 28 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và (O)' ở N sao cho M là trung điểm của AN Giải Giả sử đã dựng được đường thẳng d theo yêu cầu của bài toán. Vì M là trung điểm AN nên \(\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \) Như vậy, gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số 2 thì V biến M thành N Nếu V biến (O) thành (O”) thì (O”) phải đi qua N Vậy N là giao điểm của hai đường tròn (O’) và (O”) Từ đó suy ra cách dựng: - Dựng O” = V(O) - Gọi N = (O’) ∩ (O”), M = AN ∩ (O) Câu 29 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N Giải Đặt \(IO = d (d ≠ 0)\). Theo tính chất đường phân giác của tam giác MOI, ta có: \({{IN} \over {NM}} = {{IO} \over {OM}} = {d \over R}\) Suy ra \({{IN} \over {IN + NM}} = {d \over {d + R}} \Leftrightarrow {{IN} \over {IM}} = {d \over {d + R}}\) Vì hai vecto \(\overrightarrow {IN} \) và \(\overrightarrow {IM} \) cùng hướng nên đẳng thức trên có nghĩa là:\(\overrightarrow {IN} = {d \over {d + R}}\overrightarrow {IM} \) Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số \(k = {d \over {d + R}}\) thì V biến điểm M thành điểm N Khi M ở vị trí M0trên đường tròn (O ; R) sao cho \(\widehat {IO{M_0}} = {0^ \circ }\) thì tia phân giác của góc \(\widehat {IO{M_0}}\) không cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O ; R) (M khác hẳn M0) thì quỹ tích điểm N là ảnh của (O ; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0 Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (o") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định Giải Kéo dài BC cắt (O’) tại B’ Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B} \) và \(\overrightarrow {O"B'} \) ngược hướng Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O"B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng Vậy hai vecto \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’) |