Phương trình bậc hai với hệ số thực SBT
Giải các phương trình sau trên tập số phức : Show
Phương pháp giải– Tính \(\Delta = {b^2} – 4ac\) – Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\) – Nếu \(\Delta thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\) – Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) Hướng dẫn giải\(\begin{aligned} & a)2{{x}^{2}}+3x+4=0,\,\,\,\Delta =-23,\sqrt{\Delta }=-\sqrt{23} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-3+i\sqrt{23}}{4} \\ & x=\dfrac{-3-i\sqrt{23}}{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \) 2. Giải bài 4.28 trang 206 SBT Giải tích 12Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+3=0\). Hãy tính : Phương pháp giảiÁp dụng: Phương trình \(ax^2+bx+c =0\) có hai nghiệm \({{z}_{1}};{{z}_{2}} \) thì \(\left\{ \begin{aligned} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a} \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{c}{a} \\ \end{aligned} \right. \) Hướng dẫn giảiTa có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{3}{2} \) a) \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}-3=-\dfrac{9}{4} \) b) \(z_{1}^{3}+z_{2}^{3}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right)={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}-3.\dfrac{3}{2}.\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{3}}{8} \) c) \(z_{1}^{4}+z_{2}^{4}={{\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)}^{2}}-2z_{1}^{2}.z_{2}^{2}={{\left( -\dfrac{9}{4} \right)}^{2}}-2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{16} \) d) \(\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\dfrac{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\left( -\dfrac{9}{4} \right):\left( \dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{3}{2}\) 3. Giải bài 4.29 trang 206 SBT Giải tích 12Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z \) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Phương pháp giảiTính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z\) rồi suy ra phương trình bậc hai nhận z và \(\overline z\) làm nghiệm. Hướng dẫn giảiÁp dụng: Nếu hai số \(u\) và \(v\) có: \(u+v=S;uv=P\) thì \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}-SX+P=0 \) Gọi \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \) Ta có: \(\left\{ \begin{aligned} & z+\overline{z}=a+bi+\left( a-bi \right)=2a \\ & z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \) Vậy \(z\) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của phương trình: \({{X}^{2}}-2aX+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0 \) 4. Giải bài 4.30 trang 207 SBT Giải tích 12Lập phương trình bậc hai có nghiệm là \(\begin{align} & a)1+i\sqrt{2}\,\text{và}\,1-i\sqrt{2} \\ & b)\sqrt{3}+2i\,\text{và}\,\sqrt{3}-2i \\ & c)\,-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\,\text{và}\,-\sqrt{3}-i\sqrt{2} \\ \end{align}\) Phương pháp giảiTính \({z_1} + {z_2},{z_1}.{z_2}\) và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý: Nếu \(S = {z_1} + {z_2}\) và \(P = {z_1}{z_2}\) thì \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – Sz + P = 0\) Hướng dẫn giảia) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 – i\sqrt 2\) thì: \(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 – i\sqrt 2 = 2\\ {z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right)\\ = {1^2} – {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3 \end{array}\) Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – 2z + 3 = 0\) b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 – 2i\) thì \(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 – 2i = 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 – 2i} \right)\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7 \end{array}\) Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – 2\sqrt 3 z + 7 = 0\) c) Đặt \({z_1} = – \sqrt 3 + i\sqrt 2\) và \({z_2} = – \sqrt 3 – i\sqrt 2\) thì \(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – \sqrt 3 – i\sqrt 2 – \sqrt 3 + i\sqrt 2 = – 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( { – \sqrt 3 – i\sqrt 2 } \right)\left( { – \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\ = {\left( { – \sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5 \end{array}\) Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\) 5. Giải bài 4.31 trang 207 SBT Giải tích 12Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức: Phương pháp giảiPhân tích vế trái thành tích và giải phương trình. Hướng dẫn giải\(\begin{aligned} & a){{x}^{3}}-8=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=-1-i\sqrt{3} \\ & x=-1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\) 6. Giải bài 4.32 trang 207 SBT Giải tích 12Giải phương trình \({{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0\) trên tập số phức. Phương pháp giảiPhân tích vế trái thành tích rồi giải phương trình. Hướng dẫn giải\(\begin{aligned} & {{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}-{{\left( 2i \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( z-i-2i \right)\left( z-i+2i \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=3i \\ & z=-i \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \) 7. Giải bài 4.33 trang 207 SBT Giải tích 12Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.Mệnh đề nào sau đây sai? \(\begin{align} & A.{{z}_{1}}\in \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.{{z}_{1}}\,\text{thuần ảo}\,\Rightarrow {{z}_{2}}\,\text{thuần ảo} \\ & C.{{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}} \\ & D.\,{{z}_{1}}\in C\backslash \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in C\backslash \mathbb{R} \\ \end{align} \) Phương pháp giảiSử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực. – Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\) – Nếu \(\Delta thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\) – Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) Hướng dẫn giảiĐáp án A đúng, \({z_1} \in \mathbb{R}\) thì theo công thức nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) ta suy ra \({z_2} \in \mathbb{R}\) Đáp án B đúng, \({z_1}\) thuần ảo thì b = 0 nên \({z_2}\) cũng thuần ảo. Đáp án C chưa chắc đúng vì còn trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm kép. Đáp án D đúng vì nếu phương trình có nghiệm không thực thì nghiệm thứ hai sẽ là số phức liên hợp của nghiệm thứ nhất. Chọn C. 8. Giải bài 4.34 trang 207 SBT Giải tích 12Mệnh đề nào sau đây sai? A. Số phức \(z=a+bi\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-2ax+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \) B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức \(\mathbb{C}\) (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt) D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực. Phương pháp giảiNhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận. Hướng dẫn giảiĐáp án A đúng vì \({\left( {a + bi} \right)^2} – 2a\left( {a + bi} \right) + {a^2} + {b^2}\) \( = {a^2} + 2abi – {b^2} – 2{a^2} – 2abi + {a^2} + {b^2} = 0\) Đáp án B đúng vì số phức z = a + bi luôn là nghiệm của phương trình \({x^2} – 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\) Đáp án C: Đúng. Đáp án D: Sai vì trường hợp \(\Delta thì phương trình bậc hai sẽ có nghiệm phức chứ không có nghiệm thực. Chọn D. |