- Bài 7.1
- Bài 7.2
- Bài 7.3
Bài 7.1
Giải các phương trình:
a]\[\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\]
b]\[\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\]
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
- Giải phương trình ẩn \[x\] ứng với từng nghiệm trên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a]
\[\displaystyle \eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + 2x\left[ {x - 1} \right] - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left[ {x - 1} \right]} \right]^2} + 2.x\left[ {x - 1} \right] - 3 = 0 \cr} \]
Đặt\[\displaystyle x\left[ {x - 1} \right] = t\]
Ta có phương trình: \[\displaystyle {t^2} + 2t - 3 = 0\]có \[\displaystyle 1 + 2 + \left[ { - 3} \right] = 0 \] \[\displaystyle \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\]
Với \[t_1=1\]ta có:
\[\displaystyle x\left[ {x - 1} \right] = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.\left[ { - 1} \right] = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \]
Với \[t_2=-3\]ta có:\[\displaystyle x\left[ {x - 1} \right] = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\]
\[\displaystyle \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.3 = 1 - 12\] \[ = - 11 < 0\]
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\displaystyle {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\]
b] \[\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\].
Điều kiện\[\displaystyle 3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\]
\[\displaystyle \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\]
Đặt\[\displaystyle \sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:
\[\displaystyle 5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left[ { - 5} \right] = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \]
\[\displaystyle {t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\]loại
\[\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left[ {\sqrt {21} - 5} \right]} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \]
Phương trình có \[1\] nghiệm:
\[\displaystyle x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\]
Bài 7.2
Cho phương trình\[x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\]
a] Giải phương trình khi \[m = 2\].
b] Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của \[m\].
Phương pháp giải:
a] Thay \[m=2\] và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
b] Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Lời giải chi tiết:
a] Khi \[m = 2\] ta có phương trình: \[x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0\]điều kiện\[x \ge 1\]
Ta có: \[x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - 2 = 0\]
Đặt\[\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:\[{t^2} + 2t - 2 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left[ { - 2} \right] = 1 + 2 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right] \cr} \]
\[{t_2} = - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right] < 0\]loại
\[\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr
& \Rightarrow x - 1 = {\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \]
Vậy phương trình có \[1\] nghiệm\[x = 5 - 2\sqrt 3 \]
b] \[x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\].
Điều kiện\[x \ge 1\]
\[\Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0\]
Đặt\[\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình:\[{t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\]
\[a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - \left[ {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right] = - \left[ {{{\left[ {m - 3} \right]}^2} + 1} \right] < 0\] nên \[c < 0 \]
\[ a\] và \[c\] khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt \[t_1\]và \[t_2\]trái dấu nhau.
Giả sử \[t_1>0\] thì \[\sqrt {x - 1} = t_1\Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\ge 1\] [thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
Bài 7.3
[Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari Mùa xuân 1997]
Tìm giá trị của \[\displaystyle m\] để phương trình
\[\displaystyle \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right] = 0\]
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về
\[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2mx - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0\,\,\left[ 1 \right]\\
{x^2} - 4x - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0\,\,\left[ 2 \right]
\end{array} \right.\]
- Nhận xét phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình đã cho có \[\displaystyle 3\] nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [2] có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của [1] hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của [1].
Lời giải chi tiết:
Phương trình:
\[\displaystyle \eqalign{
& \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} - 2mx - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0[1]} \cr
{{x^2} - 4x - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0[2]} \cr} } \right. \cr} \]
Ta xét phương trình [1]:\[\displaystyle {x^2} - 2mx - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0\]
\[\displaystyle {\Delta _1}' = {\left[ { - m} \right]^2} - 1.\left[ { - 4\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right] = {m^2} + 4\left[ {{m^2} + 1} \right] > 0\]với mọi \[\displaystyle m\]
Phương trình [1] luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình [2]: \[\displaystyle {x^2} - 4x - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0\]
\[\displaystyle \eqalign{
& {\Delta _2}' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.\left[ { - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right]} \right] \cr
& = 4 + 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] \cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \]
Phương trình [2] có nghiệm khi và chỉ khi\[\displaystyle {\Delta _2}' \ge 0\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2}\left[ {m + 1} \right] - m\left[ {m + 1} \right] + 2\left[ {m + 1} \right] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {m + 1} \right]\left[ {{m^2} - m + 2} \right] \ge 0 \cr} \]
Vì\[\displaystyle {m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} \] \[\displaystyle = {\left[ {m - {1 \over 2}} \right]^2} + {7 \over 4} > 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\]
Vậy với \[\displaystyle m -1\] thì phương trình [2] có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình [2] có \[\displaystyle 1 \] nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình [1].
Ta có: \[\displaystyle {\Delta _2}' = 0\]suy ra \[\displaystyle m = -1\] và nghiệm kép phương trình [2] là: \[\displaystyle x = 2\]
Khi đó, \[\displaystyle x = 2\] không được là nghiệm của phương trình [1] nên ta có:
\[2^2 - 2m.2 - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] \ne 0\]
\[\Leftrightarrow \displaystyle 4 - 4m - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] \ne 0\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow - 4m\left[ {m + 1} \right] \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left[ {m + 1} \right] \ne 0 \cr} \]
loại vì \[\displaystyle m = -1\]
Trường hợp 2: Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt \[\displaystyle x_1\]và\[\displaystyle x_2\]trong đó có \[\displaystyle 1\] nghiệm giả sử là \[\displaystyle x_1\] cũng là nghiệm của phương trình [1].
Phương trình [2] có \[\displaystyle 2\] nghiệm phân biệt\[\displaystyle \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\]
Và gọi \[x_1\] là nghiệm chung của hai phương trình [1] và [2], ta có:
\[\displaystyle \left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0} \cr
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0} \cr} } \right.\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \left[ {4 - 2m} \right]{x_1} + 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {4 - 2m} \right]{x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {4 - 2m} \right]{x_1} + 2\left[ {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {4 - 2m} \right]{x_1} + 2\left[ {{m^2}\left[ {m - 2} \right] + \left[ {m - 2} \right]} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {4 - 2m} \right]{x_1} + 2\left[ {m - 2} \right]\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {2 - m} \right]{x_1} + 2\left[ {m - 2} \right]\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0 \cr& \Leftrightarrow 2\left[ {2 - m} \right][{x_1} -\left[ {{m^2} + 1} \right]] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 [m\ne 2] \cr} \]
Vì \[\displaystyle x_1\]cũng là nghiệm của phương trình [1] nên thay \[\displaystyle {x_1} = {m^2} + 1\]vào phương trình [1] ta có:
\[\displaystyle \eqalign{
& {\left[ {{m^2} + 1} \right]^2} - 2m\left[ {{m^2} + 1} \right] - 4\left[ {{m^2} + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 1} \right]\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \]
[vì \[\displaystyle {m^2} + 1 > 0\]]
\[\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left[ {m - 3} \right] + \left[ {m - 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {m - 3} \right]\left[ {m + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr
{m = - 1} \cr} } \right. \cr} \]
Vì \[\displaystyle m > -1\] nên \[\displaystyle m = -1\] loại
Vậy \[\displaystyle m = 3 \] [thỏa mãn].
Thay \[\displaystyle m = 3\] vào phương trình [1] và [2] ta có:
Phương trình [1]:\[\displaystyle {x^2} - 6x - 40 = 0\]
Phương trình [2]:\[\displaystyle {x^2} - 4x - 60 = 0\]
Giải phương trình [1]:
\[\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 3} \right]^2} - 1.\left[ { - 40} \right] = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \]
Giải phương trình [2]:
\[\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.\left[ { - 60} \right] = 4 + 60 = 64 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có đúng \[\displaystyle 3\] nghiệm khi \[\displaystyle m = 3\]