- LG a
- LG b
Giải bất phương trình:
\[\eqalign{
& a]\,{\log _{0,1}}\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > {\log _{0,1}}\left[ {x + 3} \right]\,; \cr
& b]\,{\log _{{1 \over 3}}}\left[ {{x^2} - 6x + 5} \right] + 2{\log _3}\left[ {2 - x} \right] \ge 0. \cr} \]
LG a
\[{\log _{0,1}}\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > {\log _{0,1}}\left[ {x + 3} \right]\]
Phương pháp giải:
Nếu 0 < a < 1 thì:
\[{\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right] \]
\[\Leftrightarrow 0 < f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {\log _{0,1}}\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > {\log _{0,1}}\left[ {x + 3} \right]\cr&\Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\,\,\, \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 2 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < - 2\,\,\text { hoặc }\,\,x > 1 \hfill \cr
- \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \sqrt 5 < x < - 2\\
1 < x < \sqrt 5
\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left[ { - \sqrt 5 ; - 2} \right] \cup \left[ {1;\sqrt 5 } \right]\]
Cách trình bày khác:
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x - 2 > 0\\
x + 3 > 0
\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < -2
\end{array} \right.\\
x > - 3
\end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
- 3 < x < - 2
\end{array} \right.\]
Khi đó,
\[\begin{array}{l}
{\log _{0,1}}\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > {\log _{0,1}}\left[ {x + 3} \right]\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < x + 3\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5 < 0\\
\Leftrightarrow - \sqrt 5 < x < \sqrt 5
\end{array}\]
Kết hợp với [*] ta được
\[\left[ \begin{array}{l}
1 < x < \sqrt 5 \\
- \sqrt 5 < x < - 2
\end{array} \right.\]
LG b
\[{\log _{{1 \over 3}}}\left[ {{x^2} - 6x + 5} \right] + 2{\log _3}\left[ {2 - x} \right] \ge 0\]
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}
2 - x > 0\\
{x^2} - 6x + 5 > 0
\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 5\\
x < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow x < 1\]
Khi đó,
\[\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}\left[ {{x^2} - 6x + 5} \right] + 2{\log _3}\left[ {2 - x} \right] \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left[ {{x^2} - 6x + 5} \right] \ge - {\log _3}{\left[ {2 - x} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left[ {{x^2} - 6x + 5} \right] \ge {\log _{{1 \over 3}}}{\left[ {2 - x} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {\left[ {2 - x} \right]^2} \cr&\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {x^2} - 4x + 4\cr&\Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\]
Kết hợp ĐK ta được \[{1 \over 2} \le x < 1\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left[ {{1 \over 2};1} \right]\]