- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số: \[y = {{x - 4m} \over {2\left[ {mx - 1} \right]}}.\,\,\,\left[ {{H_m}} \right]\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.
Lời giải chi tiết:
Với m=1 hàm số có dạng: \[y = {{x - 4} \over {2x - 2}}\]
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = {6 \over {{{\left[ {2x - 2} \right]}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = - \infty \]
Đường tiệm cận đứng: \[x=1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = {1 \over 2}\]
Đường tiệm cận ngang \[y={1 \over 2}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: [4;0];[0;2]
LG b
Chứng minh rằng với mọi \[m \ne \pm {1 \over 2}\], các đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\] đều đi qua hai điểm cố định A và B.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[M\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ.
Đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\] đi qua điểm M khi và chỉ khi \[[x_o;y_o]\] thỏa mãn \[{{{x_o} - 4m} \over {2\left[ {m{x_o} - 1} \right]}} = {y_o}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr
2{y_o}\left[ {m{x_o} - 1} \right] = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr
\left[ {2{x_o}{y_o} + 4} \right]m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Mọi đường cong\[\left[ {{H_m}} \right]\] với \[m \ne \pm {1 \over 2}\]đều đi qua điểm \[M\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \[m \ne \pm {1 \over 2}\].
Phương trình [2] nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr
-{x_o} - 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_o}{y_o} + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4y_o^2 + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_o} = \pm 1\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = - 2 \hfill \cr
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr
{y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] =[-2;1] và\[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]=[2;-1]
Ta kiểm tra điều kiện [1]
Với \[{x_o} = - 2\], ta có \[m \ne - {1 \over 2}\]
Với \[{x_o} = 2\], ta có \[m \ne {1 \over 2}\]
Vậy mọi đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\]với \[m \ne \pm {1 \over 2}\]đều đi qua hai điểm cố định A[-2; 1] và B[2; - 1].
LG c
Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với [\[H_m\]] tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {mx - 1} \right]}^2}}}\]
Hệ số góc tiếp tuyến với \[\left[ {{H_m}} \right]\] tại A[-2; 1] và \[B[2; - 1]\]là y[-2] và y'[2].
Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:
\[y'\left[ { - 2} \right].y'\left[ 2 \right] \] \[= {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {-2m - 1} \right]}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {2m - 1} \right]}^2}}} \] \[= {1 \over 4}\] là hằng số.