Bài tập phương pháp quy nạp toán học nâng cao năm 2024
|
Với \(n \in N*\), ta xét các mệnh đề: P: \(''{7^n} + 5\) chia hết cho 2”; Q: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 3” và R: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: Show
Đáp án: A Phương pháp giải: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6. Lời giải chi tiết: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6. Thật vậy, với n = 1 ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\) Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho 6. Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho 6. Do đó mệnh đề đúng với n = k + 1. Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho 6 với mọi \(n \in N*\). Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng. Chọn A. Đáp án - Lời giải Bài viết Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học. Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học (hay, chi tiết)A. Phương pháp giải & Ví dụQuảng cáo Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n0, n0 ∈ N* ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0) Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0, k ∈ N*, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1). Ví dụ minh họaBài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2 Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ N*. Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1 ⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1. Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là: Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là: Thật vậy: Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1. Quảng cáo Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2 ♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1 Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1. ♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là: 1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 (2) Thật vậy: VT(2) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) \= k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 = VP(2) Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1. Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức: ♦ Với n = 1 ta có đẳng thức đã cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng. ⇒ Đẳng thức đã cho đúng với n = 1. ♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1 , tức là : Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là : Thật vậy, ta có : Ta chứng minh: ⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2 ⇒ 3 > 1 (luôn đúng) Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học Quảng cáo B. Bài tập vận dụngBài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có Lời giải: Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP ⇒ Đẳng thức đã cho đúng vớí n = 1. Bước 2: Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là Ta sẽ chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh Thật vậy: ⇒ (1) đúng đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1. Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: Lời giải: Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức: |sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I Lời giải: Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức đã cho đúng Gợi ý: * Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức đã cho đúng. * Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1) Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1,tức là : |sin(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2) Thật vậy:
Vậy đẳng thức đã cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức đã cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n. Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7n+3n-1 luôn chia hết cho 9 Lời giải: * Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9 * Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9 Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1) Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Quảng cáo Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º. Lời giải: * Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º * Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º. Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3.. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
