Bài tập trắc nghiệm về tính giới hạn năm 2024

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

Giới hạn đặc biệt: ; (c: hằng số)
Định lí: a) Nếu và thì: (nếu M  0) b) Nếu f(x)  0 và thì L  0 và c) Nếu thì
Giới hạn một bên:  
Giới hạn đặc biệt: ; ; ;
Định lí: Nếu  0 và thì:
Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
Nếu là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng
Nếu cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (Giới hạn trái bằng giới hạn phải).

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 3 2 1 5 2 1 lim   2 1   x  x x x là: A.  2. B. 1 2  . C. 1 2. D. 2. Câu 2. 3 2 2 4 1 lim   3 2  x   x x x bằng: A  . . B. 11 . 4  . C. 11 . 4. D. . Câu 3. Tìm giới hạn hàm số 1 1 lim  2  x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số

 

3 2 lim 1   x x bằng định nghĩa. A.  B.   C. 9 D. 1 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số 1 3 2 lim  1   x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1 4 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số 3 lim   2  x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số 2 2 1 lim    2   x  x x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số 1 3 2 lim  2 1  x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C. 5 D. 1 Câu 9. Cho hàm số

   

2 3 4 3 ( ) 2 1 2     x x f x x x . Chọn kết quả đúng của 2 lim ( ) x  f x : A. 5 9. B. 5 3. C. 5 9. D. 2 9. Câu 10. Tìm giới hạn hàm số 0 4 2 lim  2   x x x bằng định nghĩa. A.  B. 1 8 C.  2 D. 1 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số 1 4 3 lim  1  x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số 2 3 1 lim  2  x  x x bằng định nghĩa. A.  B.   C.  2 D. 1

 B.   C. 3 3 9 4 2  D. 1 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số 2 1 2 2 1 2 3 lim  3 2      x  x x x C x bằng định nghĩa. A.  B.   C. 3 3 9 4 2  D. 2  35 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số 13 3 1 2 lim  3 1 2    x   x D x bằng định nghĩa. A.  B.   C. 1 6  D. 0 Câu 27. Cho hàm số

#######  

2 3 khi 2 1 khi 2        x x f x x x . Chọn kết quả đúng của

#######  

2 lim x  f x : A.  1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 2 2 1 khi 2 ( ) 2 1 khi 2          x ax x f x x x x . A.  B.   C. 1 2 D. 1 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 2 2 5 3 2 1 0 ( ) 1 2 0             ax x a khi x f x x x x khi x . A.  B.   C. 2 2 D. 1 Câu 30. Tìm a để hàm số. 2 2 5 3 2 1 0 ( ) 1 2 0             ax x a khi x f x x x x khi x có giới hạn tại x 0 A.  B.   C. 2 2 D. 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. 2 2 1 khi 1 ( ) 2 3 khi 1          x ax x f x x x a x có giới hạn khi x  1. A.  B.   C. 1 6  D. 1 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0

L = 0 ( ) lim x x ( ) P x Q x với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý:
Nếu tam thức bậc hai ax 2 b x+c có hai nghiệm 1 2 x ,x thì ta luôn có sự phân tích 2 ax  bx  c  a x(  x 1 )( x x 2 ).
a n  b n  ( a  b )( a n  1  a n  2 b  ...  abn  2 bn 1 )
L = 0 ( ) lim x x ( ) P x Q x với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lượng liên hợp:
( a  b )( a  b ) a b
3 3 3 2 3 3 2 ( a  b )( a  ab  b ) a b
( n a  nb )( n a n  1  n a n  2 b  ...  nb n 1 )a b
L = 0 ( ) lim x x ( ) P x Q x với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc Giả sử: P(x) = 0 0 m u x( )  n v x( ) vôùi m u x( )  nv x( )a . Ta phân tích P(x) =

 m u x( )  a    a  nv x( ) 

. Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u x( )  m v x( ) ( n u x( )  m x( ))  ( mv x( ) m x( )) , trong đó m x( ) c . Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 1 3 2 1 lim   2 2   x  x x x là: A.   . B. 0. C. 1 2. D.  . Câu 2. Tìm giới hạn 3 2 1 2 3 2 lim  4 3    x   x x A x x : A.  B.   C. 3 2 D. 1 Câu 3. Tìm giới hạn 4 2 2 3 5 4 lim  8    x  x x B x : A.  B.   C. 1 6  D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn 3 4 0 (1 3 ) (1 4 ) lim      x x x C x : A.  B.   C. 1 6  D. 25 Câu 5. Cho hàm số   2 3 9    x f x x . Giá trị đúng của

#######  

3 lim x  f x là: A.  . . B. 0. . C. 6.. D. . Câu 6. Tìm giới hạn 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim       x x x x D x :

Câu 15. Tìm giới hạn 0

(2 1)(3 1)(4 1) 1

lim



   



x

x x x

F

x :

A.  B.   C.

9 2 D. 1

Câu 16. Tìm giới hạn

3 0 2

1 4 1 6

lim



  



x

x x

M

x :

A.  B.   C.

1 3 D. 0

Câu 17. Tìm giới hạn 0

1 1

lim



  



m n

x

ax bx

N

x :

A.  B.   C.



a b

m n D.



a b

m n

Câu 18. Tìm giới hạn 0

1 1 1

lim



  



m n

x

ax bx

G

x :

A.  B.   C.



a b

m n D.



a b

m n

Câu 19. Tìm giới hạn

   

0 2

1 1

lim



  



n m

x

mx nx

V

x :

A.  B.   C.

 

2 mn n m

D.  

2 mn n m

Câu 20. Tìm giới hạn

    

 

3 1 1

1 1 ... 1

lim

1  

  





n

x n

x x x

K

x

:

A.  B.   C.

1 n! D. 0

Câu 21. Tìm giới hạn

   

2 2

0 1 1

lim



    



n n

x

x x x x

L

x :

A.  B.   C. 2 n D. 0

Câu 22. Tìm giới hạn

2 2 3

2 5 2

lim

 8

 



x 

x x

A

x :

A.  B.   C.

1 4 D. 0

Câu 23. Tìm giới hạn

4 2

1 3

3 2

lim

 2 3

 



x  

x x

B

x x :

A.  B.   C.

2

5 

D. 0

Câu 24. Tìm giới hạn

3 2

2 3 3

lim

 4 3

 



x  

x

C

x x :

A.  B.   C.

1 6 D. 0

Câu 25. Tìm giới hạn 3 0 1 1 lim  2 1 1    x   x D x : A.  B.   C. 1 3 D. 0 Câu 26. Tìm giới hạn 0 (2 1)(3 1)(4 1) 1 lim       n x x x x F x : A.  B.   C. 9 n D. 0 Câu 27. Tìm giới hạn 3 0 1 4 1 6 lim  1 cos 3     x  x x M x : A.  B.   C. 4 9 D. 0 Câu 28. Tìm giới hạn 0 1 1 lim  1 1       m n x ax bx N x : A.  B.   C. 2  an bm mn D. 0 Câu 29. Tìm giới hạn

#######    

0 3 1 1 lim  1 2 1 3        n m x mx nx V x x : A.  B.   C. 2  an bm

####### mn D. mn n m

Câu 30. Tìm giới hạn

    

 

3 1 2 1 1 1 ... 1 lim 1        n x n x x x K x : A.  B.   C. 1 n! D. 0 Câu 31. Tìm giới hạn 3 0 4 1 2 1 lim      x x x A x : A.  B.   C. 4 3 D. 0 Câu 32. Tìm giới hạn 13 4 5 3 lim  5 3 2    x   x B x : A.  B.   C. 4 3 D. 2 5 Câu 33. Tìm giới hạn 4 3 1 2 3 2 3 lim   2 1     x   x x C x : A.  B.   C. 4 3 D. 3

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH   Phương pháp: L = ( ) lim x  ( ) P x Q x trong đó P x( ), Q x( )  , dạng này ta còn gọi là dạng vô định   . với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
2 ( ) lim      k  x x x ; 2 1 ( ) lim  ( )      k    x x x .
( ) lim 0 ( 0; 0)      n    x x k n k x .
0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)   ( )       x x x x k f x k f x . Câu 1. 5 lim x  3 x  2 bằng: A. 0. B. 1. C. 5
D.  . Câu 2. Giá trị đúng của 4 4 7 lim   1  x  x x là: A.  1. B. 1. . C. 7. . D. . Câu 3. Tìm giới hạn 2 2 2 3 2 lim   5 1    x   x x C x x : A.  B.   C. 2 3 6  D. 0 Câu 4. 2 2 2 1 lim   3  x  x x bằng: A.  2. B. 1 3  . C. 1
D. 2. Câu 5. Cho hàm số 2 4 2 1 ( ) 2 3     x f x x x . Chọn kết quả đúng của lim ( ) x   f x : A. 1
B. 2
1. C. 0. D.  . Câu 6. 2 1 3 lim    2 3  x  x x bằng: A. 3 2 2  . B. 2
2. C. 3 2
  1. D. 2 2  .

Câu 7. Tìm giới hạn 3 4 6 3 4 1 lim    1    x   x x D x x : A.  B.   C. 4 3 D. 1 Câu 8. Cho hàm số

#######     4

1 2 1      x f x x

####### x x . Chọn kết quả đúng của  

lim x   f x : A. 0. B. 1 2. C. 1. D. Không tồn tại. Câu 9. 2 1 3 lim  2 1   x  x x x bằng: A. 3. B. 1 2. C. 1. D.  . Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 4 3 2 8 lim   2 2  x    x x x x x là: A. 21 5  . B. 21 5. C. 24 5  . D. 24 5. Câu 12. Tìm giới hạn 2 lim ( x 1 )       x E x x : A.  B.   C. 1 2  D. 0 Câu 13. Tìm giới hạn lim ( 4 2 1 )       x F x x x : A.  B.   C. 4 3 D. 0 Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

 

5 3 lim 4 3 1       x x x x là: A.   . B.. C.. D.. Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là: A.. B.. C.. D.. Câu 16. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 17. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Đáp án khác Câu 18. Tìm giới hạn :

Câu 28. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Câu 29. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 30ìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 31. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 32. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 33ìm giới hạn : A. B. C. D. 0 Câu 34. Tìm giới hạn : A. B. C. D. Đáp án khác Câu 35. Tìm giới hạn : A. B. C. D. 4 Câu 36. Tìm giới hạn : A. B. C. 3 2 D. 0 Câu 37. Tìm giới hạn 2 3 3 1 2 1 lim   2 1     x    x x x D x x x : A.  B.   C. 4 3 D. 0

Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 0 2 lim cos x  x nx là: A. Không tồn tại. B. 0. C. 1. D.  .

 B.   C. 1 2  D. 0 Câu 10. Tìm giới hạn 2 lim ( 4 1 )       x B x x x : A.  B.   C. 1 4 D. 0 Câu 11. Tìm giới hạn lim ( 2 1 2 1)         x C x x x x : A.  B.   C. 1 4 D. Đáp án khác Câu 12. Tìm giới hạn lim ( 3 8x 3 2x 2x)      x D : A.  B.   C. 1 4 D. 0 Câu 13. Tìm giới hạn 4 4 2 lim ( 16 3 1 4 2)        x E x x x : A.  B.   C. 1 4 D. 0 Câu 14. Tìm giới hạn lim ( 3 1 3 )       x F x x : A.  B.   C. 1 4 D. 0

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:  0 0 sin lim lim 1   sin   x x x x x x , từ đây suy ra 0 0 tan lim lim 1   tan   x x x x x x .  Nếu 0 0 sin ( ) lim ( ) 0 lim 1   ( )    x x x x u x u x u x và 0 tan ( ) lim 1  ( )  x x u x u x . Câu 1. Tìm giới hạn 0 2 1 cos lim    x ax A x : A.  B.   C. 2 a D. 0 Câu 2. Tìm giới hạn 0 1 sin cos lim  1 sin cos    x   mx mx A nx nx : A.  B.   C. m n D. 0 Câu 3. Tìm giới hạn 0 2 1 cos .cos 2 .cos 3 lim    x x x x B x : A.  B.   C. 3 D. 0 Câu 4ìm giới hạn 0 1 cos 2 lim 3 2sin 2    x x A x : A.  B.   C. 1 D. 0 Câu 5. Tìm giới hạn 0 cos 2 cos 3 lim  (sin 3 sin 4 )   x  x x B x x x : A.  B.   C. 5 2 D. 0 Câu 6. Tìm giới hạn 2 0 3 tan 2 lim  1 cos 2  x  x C x : A.  B.   C. 6 D. 0 Câu 7. Tìm giới hạn 2 0 lim  1 sin 3 cos 2  x   x D x x x : A.  B.   C. 7 2 D. 0 Câu 8ìm giới hạn 1 sin( ) lim.  sin( )  m x n x A x   : A.  B.   C. n m D. 0 Câu 9. Tìm giới hạn 2 lim( ) tan  2   x B x x   :

 B.   C. 2 a n D. 0 Câu 20ìm giới hạn 0 cos 3 cos 4 lim  cos 5 cos 6   x  x x A x x : A.  B.   C. 7 11 D. 0 Câu 21ìm giới hạn 3 0 1 1 2sin 2 lim  sin 3    x x B x : A.  B.   C. 4 9  D. 0 Câu 22. Tìm giới hạn 2 03 4 sin 2 lim  cos cos  x  x C x x : A.  B.   C.  96 D. 0 Câu 23. Tìm giới hạn 4 0 4 sin 2 lim  sin 3  x x D x : A.  B.   C. 16 81 D. 0 Câu 24. Tìm giới hạn 0 1 sin( cos ) lim 2  sin(tan )   x x E x  : A.  B.   C. 1 D. 0 Câu 25ìm giới hạn 3sin 2 cos lim   1   x   x x F x x : A.  B.   C. 5 2 D. 0 Câu 26. Tìm giới hạn 0 2 cos cos lim  sin   m m x ax bx H x : A.  B.   C. 2 2  b a n m D. 0 Câu 27. Tìm giới hạn 3 0 1 3 1 2 lim  1 cos 2     x  x x M x : A.  B.   C. 1 4  D. 0 Câu 28. 2 2 3 5sin 2 cos lim   2   x  x x x x bằng: A.   . B. 0. C. 3. D.  .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

Giới hạn đặc biệt: 0 xlim  x x x 0 ; 0 lim x x c c   (c: hằng số)
Định lí: a) Nếu 0 lim ( ) x x f x L   và 0 lim ( ) x x g x M   thì:  

0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M    

 

0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M    

 

0 lim ( ). ( ). x x f x g x L M   0 ( ) lim x x ( ) f x L  g x M  (nếu M  0) b) Nếu f(x)  0 và 0 lim ( ) x x f x L   thì L  0 và 0 lim ( ) x x f x L   c) Nếu 0 lim ( ) x x f x L   thì 0 lim ( ) x x f x L   3. Giới hạn một bên: 0 lim ( ) x x f x L    0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L        0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L      