Các công thức lim toán cao câ s năm 2024
67% found this document useful (3 votes) Show 2K views 6 pages Copyright© Attribution Non-Commercial (BY-NC) Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?67% found this document useful (3 votes) 2K views6 pages Tom Tat Cong Thuc Toan Cao Cap A1, 2H μ m mét biÕn 1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm • (u α )’ = α .u’.u α -1 ( α : H»ng sè, U: Hµm sè) • (a U )’ = u’. ln a.a U (a: H»ng sè, U: Hµm sè) • (e U )’ = u’.e U • (Sin u)’ = u’.cos u • Cos u)’ = - u’.sin u • (Tg u)’= uCosu 2 ' ; • (Cotg u)’= uSinu 2 ' − • (Log a u)’ = auu ln.' • (arcsin u)’ = 2 1' uu − ; • (arccos u)’ = 2 1' uu −− • (arctg u)’ = 2 1' uu + ; • (arccotg u)’ = 2 1' uu +− • (u ± v)’=u’ ± v’ • (u.v)’= u’v+v’u • ( vu )’ = 2 '' vuvvu − 2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n - V« cïng bÐ t − ¬ng ® − ¬ng : 0)( \= → x Lim a x α \=> α (x) ® − îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a 1)()( \= → x x Lim a x β α --> α (x) vµ β (x) lµ hai v« cïng bÐ t − ¬ng ® − ¬ng khi x->a Ký hiÖu : α (x) ∼β (x) khi x->a §Þnh lý : NÕu α (x) ∼α 1 (x) vµ β (x) ∼β 1 (x)khi x->a th× )()()()( 11 x x Lim x x Lim a xa x β α β α →→ \= Sin x ∼ x khi x->0 ArcSin x ∼ x khi x->0 Tg x ∼ x khi x->0 ArcTg x ∼ x khi x->0 e x -1 ∼ x khi x->0 ln(1+x) ∼ x khi x->0 - C«ng thøc Lopital khö d¹ng 00 ; ∞∞ : 1 )(')(')()( x g x f Lim x g x f Lim a xa x →→ \= 4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x 0 nÕu : + f(x 0 ) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n + )()( 0 0 x f x f Lim x x \= → (NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x 0 th× x 0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n
• C xdx x ++\= + ∫ 1 .)1(1 α α α ( α \>0) • C aadxa x x +\= ∫ .ln1 • C edxe x x +\= ∫ • C xdx x +\= ∫ cos.sin • ∫ \= dx x .sin1 2 - cotg x + C • C xdx x +−\= ∫ sin.cos • ∫ \= dx x .cos1 2 tg u + C • C a xdx xa +\=− ∫ arcsin.1 22 • ∫ + dx xa .1 22 \= a 1 . arctg a x +C • C xdx x +\= ∫ ln.1
∫ ∫ −\= vduvudvu .. H μ m nhiÒu biÕn 7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn • x y x f y x x f Lim x y x f y x f x x Δ−Δ+\=∂∂\= →Δ ),(),(),( ),( 0000 00000' • y y x f y y x f Lim y y x f y x f y y Δ−Δ+\=∂∂\= →Δ ),(),(),( ),( 0000 00000' • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: dy y x f dx y x f y xdf y x ),(),(),( '' +\= • Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: 222222 ),(),(2),(),( dy y x f dxdy y x f dx y x f y x f d yy xy xx ++\= • C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+ Δ x, y+ Δ
x ’(x,y). Δ x + f y ’(x,y). Δ y • §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) : ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂∂∂\=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂\=∂∂ yvv F yuu F y F xvv F xuu F x F • §¹o hµm cña hµm Èn : *NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): \=> ),(),()(' '' y x F y x F x y y x −\= *NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): \=> ),,( ),,( )(' '' z y x F z y x F x z x x −\= ; ),,( ),,( )(' '' z y x F z y x F y z y x −\= . Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn 8 B − íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(x i ,y i ) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎪⎩⎪⎨⎧\=\= 0),( 0),( '' y x f y x f y x B − íc2: KiÓm tra ®iÓm M(x i ,y i ) cã lµ cùc trÞ A=f xx ”(x i ,y i ); B=f xy ”(x i ,y i ); C=f yy ”(x i ,y i ); B 2 -AC < 0 A<0: M(x i ,y i )--- Cùc ®¹i A>0: M(x i ,y i )--- Cùc tiÓu B 2 -AC \> 0 M(x i ,y i )--- kh«ng lµ cùc trÞ B 2 -AC \= 0 M(x i ,y i )--- Ch − a kÕt luËn ® − îc Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0 Gi¶i hÖ PT: ⎪⎩⎪⎨⎧\=\=\= 0),,( '''''' z y x g g f g f g f z z y y x x \=> NghiÖm M(x,y,z) 9. TÝch ph©n kÐp Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c: - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤ b vµ c ≤ y ≤ d th×: ∫∫∫∫ \= d cba D dy y x f dxdxdy y x f ),(),( - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤ b vµ y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x) th×: ∫∫∫∫ \= )()( 21 ),(),( x y x yba D dy y x f dxdxdy y x f 2 §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v) ∫∫∫∫ \= D D dudvvu yvu x f J dxdy y x f )],(),,([.||),( trong ®ã: J= '''' ),(),( vuvu y y x xvu D y x D \= Trong hÖ täa ®é cùc: I\= (x\= r.cos ϕ ; y= r.sin ϕ ) ∫∫∫∫ \= ' .).sin,cos(),( D D drd r r r f dxdy y x f ϕ ϕ ϕ Dxy ϕ2ϕ1 r=g2( ϕ) r=g1( ϕ) D xy ϕ2ϕ1 r=g( ϕ) xy0 0 0 Dr=g( ϕ) 3 DL 10. TÝch ph©n ® − êng lo¹i 1 - NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤ b th×: 2 ( , ) ( , ( )) 1 ' ( ). ba AB f x y ds f x y x y x dx \= + ∫ ∫ ∫ ∫ \= 21)(2)(1 .).sin,cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ g g dr r r r f d I ∫ ∫ \= π ϕ ϕ ϕ ϕ 20)(0 .).sin,cos( g dr r r r f d I ∫ ∫ \= 21)(0 .).sin,cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ g dr r r r f d I - NÕu: x=x(t), y=y(x), t 1 ≤ t ≤ t 2 th×: 21 2 2 ( , ) ( ( ), ( )). ' ( ) ' ( ). t t AB f x y ds f x t y t x t y t dt \= + ∫ ∫ . TÝch ph©n ® − êng lo¹i 2 11 - NÕu AB ® − îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th× ( , ) ( , ) [ ( , ( )) ( , ( )). '( )] ba AB P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx + \= + ∫ ∫ - NÕu AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=t A (t¹i A), t=t B (t¹i B) th× : B ( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )] B A t t AB P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt + \= + ∫ ∫ - C«ng thøc Green : ( , ) ( , ) ( ) L D P Q P x y dx Q x y dy dxdy x y ∂ ∂+ \= −∂ ∂ ∫ ∫∫ ( L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ® − êng khÐp kÝn ) HÖ qu¶: NÕu Q P x y ∂ ∂\=∂ ∂ trong D th×: ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy + \= ∫ • §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t − ¬ng ® − ¬ng: Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t − ¬ng ® − ¬ng: (1) Q P y ∂ ∂\=∂ ∂ (2) ∃ u(x,y) sao cho: d u(x,y) \= P(x,y) dx+ Q(x,y) dy (3) Mäi ® − êng cong kÝn L ⊂ D th×: ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy + + \= ∫ (L + - ®Þnh h − íng d − ¬ng, do c«ng thøc Green) (4) TÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo ® − êng cong nèi 2 ®iÓm A,B ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy + ∫ |
