- LG a
- LG b
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các bất đẳng thức sau:
LG a
\[{1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\]
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\[{1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1\] [1]
Với mọi \[n \in N^*,\] bằng phương pháp quy nạp.
Với \[n = 1,\] ta có
\[{1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.\]
Như vậy, [1] đúng khi \[n = 1.\]
Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k,k \in {N^ * }\], tức là
\[{1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,\]
Ta chứng minh [1] cũng đúng khi \[n = k + 1,\] nghĩa là ta sẽ chứng minh
\[{1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1\]
Thật vậy, ta có
\[{1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\]
\[ = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}\]
\[- {1 \over {k + 1}}\]
\[ = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3[k + 1][3k + 2][3k + 4]}}\]
\[ > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1\] [theo giả thiết quy nạp].
Từ các chứng trên suy ra [1] đúng với mọi \[n \in N^*\]
LG b
\[{1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\]
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\[{1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}\]
Với mọi \[n \in N^*,\] bằng phương pháp quy nạp.
Với \[n = 1,\] ta có
\[{1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}\] [ vì \[9.7 = 63 < 64 = {8^2}\] ].
Như vậy, [2] đúng khi \[n = 1.\]
Giả sử có [2] đúng khi \[n = k,k \in {N^ * }\]. Khi đó, ta có
\[{1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3]\]
Lại có : \[{[2k + 3]^2}.[3k + 7] < {[2k + 3]^2}.[3k + 7] + k + 1\]
\[= [3k + 4]{[2k + 4]^2}.\]
Do đó : \[{1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[4]\]
Từ [3] và [4] suy ra
\[{1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},\]
Nghĩa là ta cũng có [2] đúng khi \[n = k + 1.\]
Từ các chứng minh trên suy ra [2] đúng với mọi \[n \in N^*\].