Có bao nhiêu khối chóp đa diện đều?

Khối đa diện đều là gì, có bao nhiêu loại khối đa diện đều, số đỉnh số cạnh số mặt của đa diện đều

Khối đa diện đều là gì?

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi (là khối đa diện mà với bất kì hai điểm A, B thuộc nó thì
mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc nó) có hai tính chất sau đây:

• Mỗi mặt là một đa giác đều n cạnh (n-giác đều)
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p mặt.

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}.

Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?

Người ta chứng minh được chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là các loại: {3;3}, {4;3}, {3;4}, {5;3} và {3;5}. Tên gọi tương ứng được cho trong bảng dưới đây.

Số cạnh số đỉnh số mặt của năm loại khối đa diện đều

Khối đa diện đều loại {n,p} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có các đẳng thức:

• Đ+M-C=2 và 
• pĐ=2C=nM

Chi tiết số mặt số cạnh số đỉnh và tên gọi của 5 loại khối đa diện đều

Khối đa diện là phần kiến thức cơ bản mà học sinh THPT khi học về hình học cần nắm vững. Để hiểu rõ hơn về các loại khối đa diện, cách nhận diện khối đa diện và phân cắt chúng, học sinh cùng VUIHOC tìm hiểu ngay trong bài viết sau đây!

1. Hình đa diện là gì?

Hình đa diện là hình học gồm các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:

• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Có nghĩa là, hình mà 2 đa giác không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên đều không là hình đa diện.

Ví dụ:

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi hình tam giác và hình chữ nhật không thỏa mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác này có 1 điểm chung nhưng điểm đó lại không phải đỉnh chung.

• Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi có 1 cạnh màu đỏ là cạnh chung của 4 mặt.

Một số hình đa diện quen thuộc học sinh đã được biết đến từ lớp 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,...

 

2. Lý thuyết khối đa diện

2.1. Khối đa diện là gì?

Các em học sinh đã từng được biết đến khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp,... Đó là những khối đa diện. Vậy, định nghĩa chung của khối đa diện là gì?

Khối đa diện được xác định là không gian miền trong của mỗi hình đa diện tạo thành. Nghĩa là, mỗi hình đa diện sẽ có 1 khối đa diện tương ứng.

2.2. Đặc điểm, tính chất về khối đa diện

Một số đặc điểm và tính chất về khối đa diện mà học sinh cần nhớ khi tiến hành làm các bài tập khối đa diện như sau:

Tính chất 1: Cho một khối tứ diện đều, ta có:

+ Đỉnh của một khối tứ diện đều khác là trọng tâm của các mặt.

+ Trung điểm của mọi cạnh chính là các đỉnh của khối bát diện đều.

Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.

Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng đôi một.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

Tính chất 5: Một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.

Tính chất 6: Hình đa diện có tối thiểu 6 cạnh.

Tính chất 7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

2.3. Ví dụ về các khối đa diện

Một số khối đa diện thường gặp:

 

3. Khối đa diện lồi là gì?

Khối đa diện lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì thuộc khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trên khối đa diện thì đó là đa diện lồi.

Ví dụ như khối lăng trụ, khối chóp là các đa diện lồi:

Ngược lại, trường hợp hình sau đây không phải đa diện lồi vì đoạn MN không thuộc trong khối đa điện:

4. Lý thuyết khối đa diện đều

4.1. Định nghĩa

Khối đa diện đều là trường hợp đa diện đặc biệt trong số các khối đa diện lồi. Để xác định khối đa diện đều cần thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:

• Mỗi mặt của khối đa diện là đa giác đều có p cạnh.

• Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q mặt.

Như vậy ta được khối đa diện đều loại {p;q}. 

4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Có 5 khối đa diện đều đã được chứng minh và có đặc điểm như bảng sau đây:

 

5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Khi phân chia, lắp ghép các khối đa diện, học sinh cần chú ý tới các điểm ngoài và điểm trong của khối đa diện. 

• Những điểm không thuộc trong khối đa diện ta gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm nằm ngoài khối đa diện được gọi là miền ngoài.

• Những điểm thuộc trong khối đa diện nhưng không nằm trên viền bao ngoài hình đa diện được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong khối đa diện tạo nên miền trong khối đa diện.

Cho khối đa diện (H) là kết hợp của hai khối đa diện (H1) và đa diện (H2) thỏa mãn:

• (H1) và (H2) không có điểm trong chung nào thì ta nói đa diện (H) phân chia được thành 2 khối đa điện (H1) và (H2).

• Có thể ghép hai khối (H1) và (H2) để hình thành được khối (H).

Ví dụ 1: Phân chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta được hai khối đa diện mới  là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban đầu.

 

6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải 

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào là hình đa diện?

Giải:

Hình đa diện là hình học tạo thành bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

• Hai đa giác bất kì có đặc điểm hoặc là không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

• Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của duy nhất hai đa giác.

Như vậy, hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2. Do đó ta chọn A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Đáy là ABC là tam giác vuông cân ở đỉnh B, AC =$a\sqrt{2}$, SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Bài 3: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có kích thước AB = a; AC = 2a và $\widehat{BAC}$= 120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy tạo thành một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Bài 5: Xét các hình sau đây, hình nào không phải là hình đa điện?

Giải:

Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh đều là cạnh chung bất kì của duy nhất hai mặt.

+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 cạnh chung, hoặc 1 định chung, hoặc là không có điểm chung nào.

Ta xét thấy: Hình 4 không thỏa mãn tính chất 2 (hai mặt bất kì có 1 điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)

Như vậy, hình D không phải hình đa diện.

 

Đa diện là phần sẽ xuất hiện với tần suất khá nhiều trong bài thi tốt nghiệp THPT QG. Trong video dưới đây, thầy Tài sẽ chữa 20 câu được trích ra từ đề thi các năm và đề thi thử. Các em chú ý theo dõi bài học cùng thầy nhé!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các bài tập điển hình về khối đa diện. Để thành thạo hơn về khối đa diện nói riêng và các kiến thức hình học THPT nói chung, các em học sinh hay truy cập trang web giáo dục Vuihoc.vn để trang bị thêm nhiều kiến thức bổ ích hơn nữa nhé!

Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?

Có bao nhiêu loại khối đa diện?

Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều có các mặt là tam giác?

P Q là gì?