Đề bài
Bất phương trình \[[x+1] \sqrt x 0\] tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
[A]. \[\sqrt {x{{[x + 1]}^2}} \le 0\]
[B]. \[[x+1] \sqrt x 0\] nên \[\left[ {x + 1} \right]\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\]
Do đó bpt \[\left[ {x + 1} \right]\sqrt x \le 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\sqrt x = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left[ {loai} \right]\\x = 0\end{array} \right.\]
Vậy bpt có tập nghiệm \[S = \left\{ 0 \right\}\].
Đáp án A: \[\sqrt {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \le 0\]
ĐK: \[x{\left[ {x + 1} \right]^2} \ge 0\]
Khi đó \[\sqrt {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \ge 0\] nên bpt \[\sqrt {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \le 0\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của bpt là \[{S_1} = \left\{ { - 1;0} \right\}\] nên hai bpt không tương đương.
Loại A.
Đáp án B: \[\left[ {x + 1} \right]\sqrt x < 0\]
ĐK: \[x \ge 0\]
Khi đó \[x + 1 \ge 1 > 0\] nên \[\left[ {x + 1} \right]\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\]
Do đó bpt \[\left[ {x + 1} \right]\sqrt x < 0\] vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \[{S_2} = \emptyset \] hay hai bpt không tương đương.
Loại B.
Đáp án C: \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x \le 0\]
ĐK: \[x \ge 0\]
Khi đó \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\]
Do đó bpt \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x \le 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left[ {loai} \right]\\x = 0\end{array} \right.\]
Vậy bpt có tập nghiệm \[{S_3} = \left\{ 0 \right\} = S\].
Do đó hai bpt tương đương.
Chọn C.
Đáp án D: \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x < 0\]
ĐK: \[x \ge 0\].
Khi đó \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x \ge 0\] nên bpt \[{\left[ {x + 1} \right]^2}\sqrt x < 0\] vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \[{S_4} = \emptyset \] hay hai bpt không tương đương.
Loại D.
Chọn C.