Đề bài
Hình thang \[ABCD \,[AB//CD]\] có \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[O, AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh rằng \[OK\] đi qua trung điểm của các cạnh \[AB\] và \[CD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Qua \[O\] kẻ đường thẳng song song với \[AB, CD\] cắt \[AD, BC\] lần lượt tại \[E, F\].
- Chứng minh \[\dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}\].
- Chứng minh \[\dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}\].
Lời giải chi tiết
Qua \[O\] kẻ \[EF//AB\left[ {E \in AD,F \in BC} \right]\] [h.54]
Trước hết hãy chứng minh rằng \[OE=OF\].
Xét \[\Delta DAC\] có \[EO//DC\] nên ta có:
\[\dfrac{{EO}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\] [1]
Xét \[\Delta DBC\] có \[OF//DC\] nên ta có:
\[\dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BO}}{{BD}}\] [2]
Vì \[AB//CD\] nên ta có:
\[\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{{OB}}{{BD}}\] [3]
Từ các đẳng thức [1], [2] và [3] suy ra \[\dfrac{{EO}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow EO = OF\] [4]
Từ \[AB//EF\], ta có:
\[\dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{KO}}\] và \[\dfrac{{KN}}{{KO}} = \dfrac{{BN}}{{OF}}\] suy ra \[\dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{OF}}\] \[ \Rightarrow AN = BN\] [vì \[EO = OF\]].
Vậy \[N\] là trung điểm của \[AB\].
Tương tự như vậy, từ \[CD//EF\], ta có:
\[\dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{KM}}\] và \[\dfrac{{KO}}{{KM}} = \dfrac{{OF}}{{CM}}\]; suy ra \[\dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{OF}}{{CM}}\] \[ \Rightarrow DM = CM\] [vì \[EO = OF\]].
Vậy \[M\] là trung điểm của \[CD\].