Đề bài
Chứng minh rằng \[{\log _2}3 > {\log _3}4\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương \[{\log _3}2\] và\[{\log _3}4\].
Lời giải chi tiết
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left[ {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right] \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\
\Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4
\end{array}\]
Chú ý:
Ta có cách trình bày khác như sau:
Ta có \[{\log _2}3 > {\log _3}4 \] \[\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\]
\[\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\][vì \[{\log _3}2 > 0\]]
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left[ {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right] \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\,\,\left[ {dpcm} \right] \cr} \]