Cho hình chóp S.ABCD có SA mp[ABC], các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có SA mp[ABC], các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.
Chứng minh rằng :
a. AH, SK, BC đồng quy ;
b. SC mp[BHK]
c. HK mp[SBC].
Lời giải chi tiết
a. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC
Ta có : BC AH [do H là trực tâm ΔABC]
BC SA [do SA mp[ABC]]
Suy ra BC [SAI] mà SI [SAI] nên BC SI
K là trực tâm ΔSBC nên SI qua K
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại I.
b. Ta có : BH AC và BH SA nên BH mp[SAC]
Suy ra BH SC
Mặt khác SC BK nên SC mp[BHK]
c. Ta có: SC HK [do HK mp[BHK]] mà HK BC [do BC mp[ASI]]
Vậy HK mp[SBC]