- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Bài 1: [1,5 điểm]Tính:
a]\[4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\]
b]\[\sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} \].
Bài 2: [1,5 điểm]
a]Giải phương trình sau: \[\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2\].
b] Rút gọn: \[A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\] [ với \[x > 0,x \ne 1\]].
Bài 3: [2 điểm]
a]Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm \[x\] [m]. Gọi \[S,P\] theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo \[x\]. Hỏi các đại lương \[S,P\] có phải là hàm số bậc nhất của \[x\] không? Vì sao? Tính giá trị của \[x\] khi biết giá trị tương ứng của \[P\] là 144 [tính theo đơn vị m].
b] Cho hàm số \[y = - 2x + 3\] có đồ thị \[\left[ {{d_1}} \right]\]và hàm số \[y = x\] có đồ thị là \[\left[ {{d_2}} \right]\]. Vẽ \[\left[ {{d_1}} \right]\]và \[\left[ {{d_2}} \right]\] trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của \[\left[ {{d_1}} \right]\]và \[\left[ {{d_2}} \right]\] bằng phép tính.
Bài 4: [2 điểm]
a] Muốn tính khoảng cách từ điểmAđến điểmBbên kia bờ sông, ông Việt vạch từAđường vuông góc vớiAB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \[AC = 30m\], rồi vạch \[CD\] vuông góc với phươngBCcắtABtạiD. Do\[AD = 20m\], từ đó ông Việt tính được khoảng cách từAđếnB. Em hãy tính độ dàiABvà số đo góc \[\angle ACB\].
b] Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lên 20% muối
Bài 5: [3 điểm]Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\], vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] [ B, C là tiếp điểm], gọi H là giao điểm của OA và BC.
a] Chứng minh rằng: \[OA \bot BC\].
b] Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] [ D nằm giữa O và A]. Chứng minh rằng \[OH.HA = HD.HE\].
c]Chứng minh rằng \[2HD.AB = DA.BC\].
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}a]\;4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\= 4\sqrt {{2^2}.3} - \dfrac{{15}}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 3 \left[ {3\sqrt 3 - 1} \right]}}{{\sqrt 3 }}\\ = 8\sqrt 3 - 5\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 1 = 1.\end{array}\]
Vậy \[4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1\].
\[\begin{array}{l}b]\;\sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| - \sqrt {\dfrac{{16}}{{14 - 6\sqrt 5 }}} \\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {14 - 6\sqrt 5 } }}\;\;\;\left[ {do\;\;2 - \sqrt 5 < 0} \right]\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left[ {\sqrt 5 } \right]}^2}} }} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt 5 } \right]}^2}} }}\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\left| {3 - \sqrt 5 } \right|}} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{3 - \sqrt 5 }}\;\;\left[ {do\;\;3 - \sqrt 5 > 0} \right]\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{4\left[ {3 + \sqrt 5 } \right]}}{{{3^2} - {{\left[ {\sqrt 5 } \right]}^2}}} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{4\left[ {3 + \sqrt 5 } \right]}}{4}\\ = \sqrt 5 - 2 - 3 - \sqrt 5 = - 5.\end{array}\]
Vậy \[\sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} = - 5\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
a]Giải phương trình sau:\[\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2\].
ĐKXĐ: \[36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left[ {6x - 1} \right]^2} \ge 0\] [luôn đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]]
\[\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {6x - 1} \right]}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:\[x = - \dfrac{1}{6},x = \dfrac{1}{2}\]
b]Rút gọn:\[A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\][với\[x > 0,x \ne 1\]].
ĐKXĐ: \[x > 0,x \ne 1\] . Với điều kiện trên ta có:
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left[ {2\sqrt x - 1} \right]}}{{\sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{x - \left[ {2\sqrt x - 1} \right]}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{{{\left[ {\sqrt x } \right]}^2} - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1.\end{array}\]
Vậy \[A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x - 1\]
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
a]Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm\[x\][m]. Gọi\[S,P\]theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo\[x\]. Hỏi các đại lương\[S,P\]có phải là hàm số bậc nhất của\[x\]không? Vì sao? Tính giá trị của\[x\]khi biết giá trị tương ứng của\[P\]là 144 [tính theo đơn vị m].
Ta có:
+] Chiều dài của khu vườn sau khi tăng thêm \[x\] [m] là: \[40 + x\;\;\left[ m \right]\]
+] Chiều rộng của khu vườn sau khi tăng thêm \[x\] [m] là: \[25 + x\;\;\left[ m \right]\]
Suy ra diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới là:
+] Diện tích \[S = \left[ {40 + x} \right]\left[ {25 + x} \right] = {x^2} + 65x + 1000\].
Đây là hàm bậc hai vì có số mũ cao nhất gắn với biến \[x\] là 2.
+] Chu vi \[P = 2.\left[ {\left[ {x + 40} \right] + \left[ {x + 25} \right]} \right] = 4x + 130\].
Đây là hàm số bậc nhất bởi số mũ cao nhất gắn với biến \[x\] là 1.
Theo đề bài ta có: \[P = 144 \Rightarrow 4x + 130 = 144 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\].
Vậy giá trị của \[x\] là: \[x = \dfrac{7}{2}\].
b]Cho hàm số\[y = - 2x + 3\]có đồ thị\[\left[ {{d_1}} \right]\]và hàm số\[y = x\]có đồ thị là\[\left[ {{d_2}} \right]\]. Vẽ\[\left[ {{d_1}} \right]\]và\[\left[ {{d_2}} \right]\]trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của\[\left[ {{d_1}} \right]\]và\[\left[ {{d_2}} \right]\]bằng phép tính.
Ta có bảng giá trị:
|
x |
0 |
1 |
|
\[{d_1}:\;\;y = - 2x + 3\] |
3 |
1 |
|
\[{d_2}:\;\;y = x\] |
0 |
1 |
Vậy đồ thị hàm số \[{d_1}:\;\;y = - 2x + 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left[ {0;\;3} \right],\;\;\left[ {1;\;1} \right]\] và đồ thị hàm số \[{d_2}:\;\;y = x\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left[ {0;\;0} \right],\;\;\left[ {1;\;1} \right].\].
Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số trên:
Hoành độ giao điểm của \[\left[ {{d_1}} \right]\]và \[\left[ {{d_2}} \right]\] là nghiệm của phương trình:
\[ - 2x + 3 = x \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1\]
Với \[x = 1 \Rightarrow y = x = 1\]. Vậy giao điểm của \[\left[ {{d_1}} \right]\]và \[\left[ {{d_2}} \right]\] là điểm \[M\left[ {1;1} \right]\].
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
a]Muốn tính khoảng cách từ điểmAđến điểmBbên kia bờ sông, ông Việt vạch từAđường vuông góc vớiAB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng\[AC = 30m\], rồi vạch\[CD\]vuông góc với phươngBCcắtABtạiD. Do\[AD = 20m\], từ đó ông Việt tính được khoảng cách từAđếnB. Em hãy tính độ dàiABvà số đo góc\[\angle ACB\].
Ta có hình vẽ minh họa:
Xét tam giác vuôngBCDvuông tạiCcóAClà đường cao ta có:
\[ \Rightarrow AB.AD = A{C^2} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{A{C^2}}}{{AD}} = 45\left[ m \right]\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
Xét tam giácBACvuông tạiAcó:
\[\tan \left[ {\angle ACB} \right] = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{45}}{{30}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle ACB = \arctan \dfrac{3}{2} \approx {56^o}\].
b]Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lệ 20% muối.
Gọi lượng nước cần cho thêm vào dung dịch là \[x\;\;\left[ g \right],\;\;\left[ {x > 0} \right].\]
Suy ra khối lượng dung dịch sau khi thêm nước là: \[150 + x\;\;\left[ g \right].\]
Theo đề bài: sau khi thêm \[x\] [g] nước vào dung dịch thì sẽ được dung dịch mới có tỉ lệ 20% muối. Từ đó ta có phương trình:
\[\dfrac{{40}}{{150 + x}} = \dfrac{{20}}{{100}} \Leftrightarrow 200 = 150 + x \Leftrightarrow x = 50\left[ g \right]\;\;\left[ {tm} \right]\]
Vậy cần thêm vào dung dịch 50 [g] nước.
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
Bài 5:Cho điểm A nằm ngoài đường tròn\[\left[ {O;R} \right]\], vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn\[\left[ {O;R} \right]\][ B, C là tiếp điểm], gọi H là giao điểm của OA và BC.
a]Chứng minh rằng:\[OA \bot BC\].
Xét đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] có \[OB = OC\] [do cùng là bán kính]
Suy raOcách đều hai điểmB,C, suy raOnằm trên đoạn trung trực củaBC. [1]
Xét đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\]có:AB,AClà tiếp tuyến [A,Blà tiếp điểm]
Suy ra \[AB = AC\] [ tính chất tiếp tuyến ]
Suy raAcách đều hai điểmB,C, suy raAnằm trên trung trực củaBC. [2]
Từ [1] và [2] suy raOAlà trung trực củaBC, suy ra \[OA \bot BC\].
b]Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn\[\left[ {O;R} \right]\][D nằm giữa O và A]
Chứng minh rằng\[OH.HA = HD.HE\].
Xét \[\left[ {O;R} \right]\] cóABlà tiếp tuyến [Blà tiếp điểm]
\[ \Rightarrow AB \bot OB\] [tính chất tiếp tuyến]
Xét tam giác vuông \[OBA\] vuông tạiBcóBHlà đường cao
\[ \Rightarrow OH.HA = B{H^2}\][ hệ thức lượng trong tam giác vuông] [3]
Xét \[\left[ {O;R} \right]\]có \[\angle EBD\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[ \Rightarrow \angle EBD = {90^o}\]
Xét tam giácEBDvuông tạiBcóBHlà đường cao
\[ \Rightarrow EH.HD = B{H^2}\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [4]
Từ [3], [4] \[ \Rightarrow OH.HA = HD.HE\] [đpcm].
c]Chứng minh rằng\[2HD.AB = DA.BC\].
CóDnằm trên đường trung trực củaBC[Dnằm trênOA]
Suy ra \[BD = BC\] [tính chất đường trung trực], suy ra cungBDbằng cungDC[hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau]
Xet đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\]có:
+] \[\angle CBD\] là góc nội tiếp chắn cungDC
+] \[\angle DBA\] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cungBD
+] CungBDvà cungDCbằng nhau [cmt]
\[ \Rightarrow \angle CBD = \angle DBA \Rightarrow BD\]là phân giác \[\angle HBA\]
Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giácHBAcó: \[\dfrac{{HD}}{{DA}} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow HD.AB = DA.BH\]
Mà có: \[BH = \dfrac{1}{2}BC\] [doHlà trung điểm củaBC]
\[ \Rightarrow HD.AB = DA.\dfrac{{BC}}{2} \Leftrightarrow 2HD.AB = DA.BC\] [đpcm]
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com