Gs a trực giao hóa gram-schmidt ma trận a
|
Show
Toán học > Đại số tuyến tínhĐại số tuyến tính | 18.06 Linear AlgebraSố thự tựTên chươngTình trạngGiảng viên1 Khía cạnh hình học của phương trình tuyến tính Dịch và thêm phụ đề Giáo sư Gilbert Strang 2 Phép khử với các ma trận 3 Nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 4 Nhân tử hóa vào trong A=LU 5 Chuyển vị, hoán vị và không gian R^n 6 Không gian cột và không gian không hạch 7 Giải phương trình Ax=0: Các biến Pivot, các nghiệm đặc biệt 8 Giải phương trình Ax=b : Dạng rút gọn hàng R 9 Sự độc lập, cơ sở, chiều 10 Bốn không gian con cơ bản 11 Không gian ma trận; Hạng 1 ; Đồ thị thế giới nhỏ 12 Đồ thị, mạng và ma trận liên thuộc 13 Ôn tập kiểm tra miệng 1 14 Các vectơ trực giao và không gian con 15 Phép chiếu trên không gian con 16 Ma trận chiếu và bình phương tối thiểu 17 Ma trận trực giao và Gram-Schmidt 18 Các tính chất của định thức 19 Công thức tính định thức và các đồng yếu tố 20 Quy tắc Cramer, ma trận nghịch đảo, và thể tích 21 Trị riêng và vectơ riêng 22 Chéo hóa và lũy thừa của A 23 Phương trình vi phân và exp(At) 24 Ma trận Markov; chuỗi Fourier 24b Ôn tập kiểm tra miệng 2 25 Ma trận đối xứng và sự xác định dương 26 Ma trận phức; Phép biến đổi Fourier nhanh 27 Ma trận xác định dương và cực tiểu 28 Ma trận đồng dạng và dạng Jordan 29 Singular Value Decomposition 30 Phép biến đổi tuyến tính và ma trận của chúng 31 Chuyển cơ sở ; Nén ảnh 32 Ôn tập kiểm tra miệng 3 33 Nghịch đảo trái và phải; Ma trận giả đảo 34 Ôn tập cuối khóa | Trang chủ Cập nhật lần cuối: 13/9/2009
0% found this document useful (0 votes) 2 views 6 pages Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 2 views6 pages LT09MATH231: Bài ging Đi s tuyn tính Mc lc
Đnh nghĩa 1. Cho V,W là hai kgvt Euclid và f : V → W là ánh x tuyn tính. Ta nói f làánh x tuyn tính trc giao nu nó bo toàn tích vô hưng, tc là f ( α ) ,f ( β ) \= α, β vi mi α, β ∈ V. Mnh đ 2. Cho f : V → W là ánh x tuyn tính trc giao. Khi đó a) | f ( α ) | \= | α | vi mi α ∈ V. b) f là đơn cu.c) Nu e 1 ,e 2 ,...,e k là mt h trc chun (tc là các vector e i ⊥ e j vi mi i \= j và | e i | \= 1 vi mi i ) thì f ( e 1 ) ,f ( e 2 ) ,...,f ( e k ) cũng là mt h trc chun. Mnh đ 3. Cho f : V → W là ánh x tha mãn f ( α ) ,f ( β ) \= α, β vi mi α, β ∈ V. Khi đó, f là ánh x tuyn tính trc giao. Mnh đ 4. Cho V,W là hai kgvt Euclid và f : V → W là ánh x tuyn tính tha mãn | f ( α ) | \= | α | vi mi α ∈ V. Khi đó, f là ánh x tuyn tính trc giao. 1
Đnh nghĩa 5. Cho A ∈ R n,n . Ta nói A là ma trn trc giao nu A T A \= I, tc là A T \= A − 1 . Ghi chú 6. Cu to ca ma trn trc giao A ∈ R n,n gm n ct to thành mt cơ s trcchun ca R n . Mnh đ 7. Cho f : V → V là t đng cu vi V là kgvt Euclid. Khi đó, f là ánh x tuyn tính trc giao khi và ch khi ma trn ca f trong mt cơ s trc chun là ma trn trc giao. 8. Quá trình trc giao hóa Gram-Schmidt .Cho v 1 ,v 2 ,...,v k là k vector trong kgvt Euclid V. Quá trình trc giao hóa Gram-Schmidtlà quá trình chuyn các vector này thành các vector trc giao e 1 ,e 2 ,...,e k tha mãn các điukin cơ bn như sau: e 1 \= v 1 , và span { e 1 ,e 2 ,...,e j } \= span { v 1 ,v 2 ,...,v j } vi mi j. Công thc tính toán ca Gram-Schmidt v bn cht là: e j +1 \= v j +1 − hình chiu vuông góc ca v j +1 lên span { v 1 ,v 2 ,...,v j } . Hay nói cách khác e j +1 là vector đ cao h t vector v j +1 xung kgvt con span { v 1 ,v 2 ,...,v j } . Ta gi e 1 ,e 2 ,...,e k là kt qu ca quá trình trc giao hóa Gram-Schmidt các vector v 1 ,v 2 ,...,v k . Công thc c th ta xem trong giáo trình, mà tôi dán li trang liên quan đây:Nu v 1 ,v 2 ,...,v k là đc lp tuyn tính, thì các vector kt qu e 1 ,e 2 ,...,e k đu khác 0 . Khi đó ta gi các vector e 1 | e 1 | , e 2 | e 2 | ,..., e k | e k | là kt qu ca quá trình trc chun hóa Gram-Schmidt .2 H qu 9. Nh quá trình trc giao hóa Gram-Schmidt, ta chng minh đưc rng mi không gian vector Euclid hu hn chiu luôn có cơ s trc chun.
Nhc li : A ∈ R n,n đưc gi là ma trn trc giao nu A T A \= I và khi đó, các ct ca A tothành mt cơ s trc chun ca R n . Hai là, ánh x tuyn tính f : V → V (vi V là kgvt Euclid hu hn chiu) là ánh x tuyntính trc giao khi và ch khi ma trn ca f trong mt cơ s trc chun ca V là ma trn trcgiao.Điu này cho phép ta có th nghiên cu đng thi ánh x tuyn tính trc giao và ma trntrc giao. Mnh đ 10. Cho f : V → V là ánh x tuyn tính trc giao vi V là kgvt Euclid hu hn chiu. Cho U ⊂ V là kgvt con bt bin đi vi f. Khi đó U ⊥ cũng bt bin đi vi f. Ghi chú 11. Đ chng minh mnh đ trên, ta cn lưu ý là ánh x tuyn tính trc giao luônlà đơn cu. Khi V hu hn chiu, ta thu đưc f : V → V là đng cu. T đó suy ra nu U làkgvt con bt bin đi vi f thì f ( U ) \= U. 12. Dng chính tc ca ma trn trc giao . Cho f : V → V là ánh x tuyn tính trcgiao. Khi đó f luôn có mt không gian con bt bin 1 chiu hoc 2 chiu, ta ký hiu khônggian này là U 1 . Theo mnh đ trên, U ⊥ 1 cũng bt bin đi vi f. Ta thu đưc ánh x tuyn tính trc giao mi là f | U ⊥ 1 : U ⊥ 1 → U ⊥ 1 . Ta tip tc áp dng lýlun trên, và ta "b" dn kgvt V thành tng trc giao ca các kgvt U 1 ⊕ U 2 ⊕···⊕ U k trongđó các U i là không gian con bt bin 1 hoc 2 chiu.Nu ta rà soát li chng minh v s tn ti không gian con bt bin 1 hoc 2 chiu, thì tabit rng: không gian con bt bin 1 chiu ng vi giá tr riêng thc, và không gian con btbin 2 chiu ng vi giá tr riêng phc thc s.Tóm li, nh vic b dn V thành các không gian con 1 chiu hoc 2 chiu, thì ta thu đưcma trn ca f trong mt cơ s trc chun thích hp có dng 1 ... 1 − 1 ... − 1cos α 1 − sin α 1 sin α 1 cos α 1 ... cos α r − sin α r sin α r cos α r . Ma trn trên đưc gi là dng chính tc ca ánh x tuyn tính trc giao f. Vi ma trn trc giao A, kt qu trên đưc phát biu như sau: Tn ti ma trn trc giao Q sao cho Q T AQ có dng chính tc như trên.Cho A là ma trn trc giao. Có hai câu hi ny sinh: • Tính dng chính tc ca A như th nào?3 |
