Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 1

1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f[x]

i] Tìm tập xác định của hàm số.

ii] Sự biến thiên

+ Xét sự biến thiên của hàm số

- Tìm đạo hàm bậc nhất \[y'\] ;

- Tìm các điểm tại đó \[y'\]bằng 0 hoặc không xác định ;

- Xét dấu\[y'\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận [nếu có].

+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị

iii] Vẽ đồ thị [thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .]

2. Bảng tóm tắt một số dạng đồ thị thường gặp

3. Tương giao của các đồ thị

Cho hai đồ thị\[[C_{1}]:y=f[x];\]và\[[C_{2}]:y=g[x].\]

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của\[[C_{1}]\]và\[[C_{2}]\]là: \[f[x]=g[x].\] [1]

- Nếu [1] vô nghiệm thì\[[C_{1}]\]và\[[C_{2}]\]không có điểm chung [không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau].

- Nếu [1] có \[n\] nghiệm phân biệt thì \[[C_{1}]\]và\[[C_{2}]\]giao nhau tại \[n\] điểm phân biệt. Nghiệm của [1] chính là hoành độ các giao điểm.

Chú ý

a]\[[C_{1}]\]tiếp xúc với\[[C_{2}]\]\[\Leftrightarrow\]hệ\[\left\{ \begin{matrix} f[x] =g[x]& \\ f'[x]=g'[x] & \end{matrix}\right.\]có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

b] Đường thẳng [d]: y: mx+n tiếp xúc với parabol\[y = a{x^2} + bx + c\] [\[a\ne 0\]]

\[\Leftrightarrow\]hệ\[\left\{ \begin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n \\ 2ax+b=m \end{matrix}\right.\]có nghiệm

\[\Leftrightarrow\]phương trình \[ax^{2}+bx+c=mx+n\]có nghiệm kép.

Dành cho chương trình nâng cao

1. Chứng minh \[[x_{0};y_{0}]\]là tâm đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]

Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh\[I[x_{0};y_{0}]\]là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục:\[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=y_{0}+Y & \end{matrix}\right.\]để đưa hệ trục \[Oxy\] về hệ trục \[IXY\] [gốc \[I\]] và chứng minh: trong hệ trục \[IXY\], hàm số đã cho có dạng \[Y=g[X]\] là hàm số lẻ.

Chú ý:\[M[x,y]\in [C]\Leftrightarrow y=f[x]\]

\[\Leftrightarrow Y+y_{0}=f[X+x_{0}]\Leftrightarrow Y=g[X]\]

2. Chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\]là trục đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\]là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục\[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=Y & \end{matrix}\right.\]để đưa hệ số \[Oxy\] về hệ trục \[IXY\] [\[\Delta\]là trục tung] và chứng minh: trong hệ trục \[IXY\], hàm số đã cho có dạng \[Y=g[X]\] là hàm số chẵn.

Loigiaihay.com