- LG a
- LG b
Giải và biện luận các hệ phương trình sau
LG a
[I]\[\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1[1]\\ax + y = 2a[2];\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x = 1 - ay\] thay vào [2] ta được:
\[\begin{array}{l}a\left[ {1 - ay} \right] + y = 2a\\ \Leftrightarrow a - {a^2}y + y = 2a\\ \Leftrightarrow \left[ {1 - {a^2}} \right]y = a\end{array}\]
+] TH1: \[1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm 1\]
Nếu \[a = 1\] thì phương trình trở thành \[0y = 1\] [vô nghiệm]
Nếu \[a = - 1\] thì phương trình trở thành \[0y = - 1\] [vô nghiệm]
+] TH2: \[a \ne \pm 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow y = \dfrac{a}{{1 - {a^2}}}\]
Khi đó \[x = 1 - a.\dfrac{a}{{1 - {a^2}}} = \dfrac{{1 - 2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\]
Vậy
Với \[a \ne \pm 1\] hệ phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{{1 - 2{a^2}}}{{1 - {a^2}}};y = \dfrac{a}{{1 - {a^2}}}\];
Với \[a = \pm 1\] hệ phương trình vô nghiệm.
LG b
[II] \[\left\{ \begin{array}{l}ax + y = a[1]\\x + ay = {a^2}[2].\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow y = a - ax\] thay vào [2] được:
\[\begin{array}{l}x + a\left[ {a - ax} \right] = {a^2}\\ \Leftrightarrow x + {a^2} - {a^2}x = {a^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {1 - {a^2}} \right]x = 0\end{array}\]
+] TH1: \[1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm 1\]
Nếu \[a = 1\] thì phương trình trở thành \[0x = 0\] nên nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow y = 1 - 1.x = 1 - x\]
Do đó hệ có nghiệm \[x = t,y = 1 - t\] với \[t \in \mathbb{R}\].
Nếu \[a = - 1\] thì phương trình trở thành \[0x = 0\] nên nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow y = - 1 - \left[ { - 1} \right].x = - 1 + x\]
Do đó hệ có nghiệm \[x = t,y = - 1 + t\] với \[t \in \mathbb{R}\].
+] TH2: \[a \ne \pm 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow x = 0\] \[ \Rightarrow y = a\]
Vậy
Nếu \[a \ne \pm 1\] thì x = 0, y = a;
Nếu \[a = - 1\] thì \[x = t ,y = -1+t[t \in R]\];
Nếu \[a = 1\] thì \[x = t,y = 1 - t[t \in R]\].