Đề bài
Cho hai đường thẳng
\[\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \]
Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \]đi qua điểm P[3, 1] và cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]lần lượt ở A,B sao cho \[{\Delta}\]tạo với \[{\Delta _1}\]và \[{\Delta _2}\] một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[\Delta \]cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]ở A và B sao cho\[{\Delta}\]tạo với \[{\Delta _1}\]và \[{\Delta _2}\]một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \[\Delta \]với \[{\Delta _1}\] và góc hợp bởi \[\Delta \] với \[{\Delta _2}\]bằng nhau.
Do đó, cách làm như sau:
+]Giả sử \[\Delta \]qua P có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \left[ {a;b} \right]\].
+] Tính\[\cos \left[ {\Delta ,{\Delta _1}} \right] \] và \[\cos \left[ {\Delta ,{\Delta _2}} \right]\]
+] Tìm mối quan hệ của a, b từ phương trình\[\cos \left[ {\Delta ,{\Delta _1}} \right] = \cos \left[ {\Delta ,{\Delta _2}} \right]\].
+] Chọn b=1, tìm a và suy ra phương trình đường thẳng.
Lời giải chi tiết
\[{\Delta _1}\]có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow {{n_1}} \left[ {1;2} \right].\]
\[{\Delta _2}\]có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow {{n_2}} \left[ {3; - 1} \right].\]
Giả sử \[\Delta \]qua P có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \left[ {a;b} \right]\].
Từ hình vẽ ta thấy:
\[\Delta \]cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]ở A và B sao cho\[{\Delta}\]tạo với \[{\Delta _1}\]và \[{\Delta _2}\]một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \[\Delta \]với \[{\Delta _1}\] và góc hợp bởi \[\Delta \] với \[{\Delta _2}\]bằng nhau.
Do đó,
\[\cos \left[ {\Delta ,{\Delta _1}} \right] = \cos \left[ {\Delta ,{\Delta _2}} \right]\]
\[\eqalign{
&\Leftrightarrow {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {10} }}\cr &\Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left[ {a + 2b} \right]^2} = {\left[ {3a - b} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {{a^2} + 4ab + 4{b^2}} \right] = 9{a^2} - 6ab + {b^2}\cr &\Leftrightarrow 7{a^2} - 14ab - 7{b^2} = 0\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \]
Chọn \[b = 1\] ta có: \[{a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \]