Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\]. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua \[I\], lần lượt cắt hai đường thẳng \[CA\] và \[CB\] tại \[A\] và \[B\]. Chứng minh rằng giao điểm \[M\] của \[AB\] và \[AB\] nằm trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:
Cho tam giác \[ABC\]. Các điểm \[M, N, P\] lần lượt chia các đoạn thẳng \[AB, BC, CA\] theo các tỉ số lần lượt là \[m, n, p\] [đều khác 1]. Khi đó:
\[AN, CM, BP\] đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \[mnp=-1\] [Định lí Xê-va].
Lời giải chi tiết
Đặt \[\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} \,,\,\,\overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \].
Xét tam giác \[ABB\] với ba đường đồng quy là \[AC, BM, BI\] [ đồng quy tại \[A\]].
Vì \[\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \] nên theo định lí Xê-va, ta có \[ mn = -1\] hay \[mn=1\].
Từ \[\overrightarrow {MB'} = n\overrightarrow {MA} \] ta suy ra \[m\overrightarrow {MB'} = mn\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MA} \].
Vậy ta có \[\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {CB'} \] và \[\overrightarrow {MA} = m\overrightarrow {MB'} \] điều này chứng tỏ rằng \[CM//AB\].
Vậy điểm \[M\] luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua \[C\] và song song với \[AB\].