Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \[{F_1}\left[ { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right];\,{F_2}\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\] Chứng minh rằng với mỗi điểm M[x, y] nằm trên đồ thị hàm số \[y = {1 \over x},\]ta đều có
\[M{F_1}^2 = {\left[ {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2};\]
\[M{F_2}^2 = {\left[ {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2}.\]
Từ đó suy ra \[|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \[MF_1, MF_2\] và biến đổi đại số suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Giả sử: \[M\left[ {x;y} \right] \in \left[ H \right]\] thì \[y = {1 \over x}\] hay \[M\left[ {x;\frac{1}{x}} \right]\] ta có:
\[\overrightarrow {M{F_1}} = \left[ { - \sqrt 2 - x; - \sqrt 2 - \frac{1}{x}} \right],\] \[\overrightarrow {M{F_2}} = \left[ {\sqrt 2 - x;\sqrt 2 - \frac{1}{x}} \right]\]
\[\eqalign{
& M{F_1^2} = {\left[ {x + \sqrt 2 } \right]^2} + {\left[ {{1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2} \cr&= {x^2} + 2\sqrt 2 .x + 2 + {1 \over {{x^2}}} + 2\sqrt 2 .{1 \over x} + 2 \cr
& = \left[ {{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + 2} \right] + 2\sqrt 2 \left[ {x + {1 \over x}} \right] + 2 \cr
& = {\left[ {{x} + {1 \over x}} \right]^2} + 2\left[ {x + {1 \over x}} \right].\sqrt 2 + {\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} \cr
& = {\left[ {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right]^2} \cr
& M{F_2}^2 = {\left[ {x - \sqrt 2 } \right]^2} + {\left[ {{1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2} \cr&= {\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 2\sqrt 2 \left[ {x + {1 \over x}} \right] + 2 \cr
& = {\left[ {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right]^2} \cr} \]
Từ đó suy ra:
+] Với x > 0 thì \[x + {1 \over x} \ge 2\][theo bất đẳng thức cô si]
Khi đó: \[M{F_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;\] \[M{F_2} = x + {1 \over x} - \sqrt 2 \]
\[\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = 2\sqrt 2 .\]
+] Với x < 0 thì\[\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} \ge 2 \Rightarrow x + {1 \over x} \le - 2\]
Khi đó: \[M{F_1} = - x - {1 \over x} - \sqrt 2 ;\] \[M{F_2} = - x - {1 \over x} + \sqrt 2\]
\[ \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = - 2\sqrt 2 \]
Vậy \[|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\]