Đề bài
Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên tia đối của tia MN ta lấy điểm A sao cho MA = MP, trên tia đối của tia MP ta lấy điểm B sao cho MB = MN.
a] Chứng minh rằng \[\Delta MNP = \Delta MBA.\]
b] Các tam giác MAP và MBN là tam giác gì ? Vì sao ?
c] Kẻ \[MH \bot NP[H \in NP],\] gọi K là giao điểm của đường thẳng MH với AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của AB.
Lời giải chi tiết
a]Xét hai tam giác MNP và MBA ta có:
MN = MB [giả thiết]
\[\widehat {NMP} = \widehat {BMA}\] [đối đỉnh]
MP = MA [giả thiết]
Do đó: \[\Delta MNP = \Delta MBA[c.g.c]\]
b] Ta có: \[\widehat {NMP} + \widehat {AMP} = {180^0}\] [hai góc kề bù]
Do đó: \[{90^0} + \widehat {AMP} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMP} = {180^0} - {90^0} = {90^0}.\]
Tam giác MPA vuông tại M có: MA = MP [giả thiết]
Do đó tam giác MPA vuông cân tại M.
Tam giác MNB vuông tại M có: MB = MN [giả thiết]
Do đó: tam giác MNB vuông cân tại M.
c] \[\Delta MNP = \Delta MBA\] [chứng minh câu a] \[\Rightarrow \widehat {MPN} = \widehat {MAB};\widehat {MNP} = \widehat {MBA}\]
Ta có: \[\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = {90^0}[\Delta MNH\] vuông tại H]
\[\widehat {NMH} + \widehat {HMP} = {90^0}[\Delta MNP\] vuông tại M].
Suy ra \[\widehat {MNH} = \widehat {HMP}\]
Mà \[\widehat {HMP} = \widehat {KMB}\] [đối đỉnh] nên \[\widehat {MNH} = \widehat {KMB}.\]
Mặt khác \[\widehat {KBM} = \widehat {MNH}[cmt]\]
Do đó: \[\widehat {KBM} = \widehat {KMB} \Rightarrow \Delta KBM\] cân tại K => KB = KM [1].
Ta có: \[\widehat {MPH} + \widehat {HMP} = {90^0}[\Delta MHP\] vuông tại H]
\[\widehat {NMH} + \widehat {HMP} = {90^0}[\Delta MNP\] vuông tại M]
\[\Rightarrow \widehat {MPH} = \widehat {NMH}\]
Mà \[\widehat {NMH} = \widehat {KMA}\] [đối đỉnh] nên \[\widehat {HPM} = \widehat {KMN}\]
Mặt khác \[\widehat {KAM} = \widehat {MPH}\] [chứng minh trên]
Do đó: \[\widehat {KAM} = \widehat {KMA} \Rightarrow \Delta KAM\] vuông cân tại K => KA = KM [2]
Từ [1] và [2] ta có: KB = KA. Vậy K là trung điểm của AB.