Đề bài
\[ABC\] có \[BC= 15cm\]. Trên đường cao \[AH\] lấy các điểm \[I,K\] sao cho \[AK = KI = IH\]. Qua \[I\] và \[K\] vẽ các đường \[EF // BC, MN // BC\] [h.11]
a] Tính độ dài đoạn thẳng \[MN\] và \[EF\].
b] Tính diện tích tứ giác \[MNFE\], biết diện tích của \[ABC\] là \[270\] cm2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Hệ quả của định lý TaLet, áp dụng kết quả của bài 7 [VBT].
Lời giải chi tiết
a] Xét \[AEI\] có \[MK // EI\] do đó
\[\dfrac{{AM}}{{ME}} = \dfrac{{AK}}{{KI}} = 1 \Rightarrow AM = ME\] [1]
Xét\[ABH\] có \[EI//BC\] do đó
\[\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AH}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3}AB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AM=ME=EB\].
Theo hệ quả của định lí Ta - lét, ta có:
\[\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\] \[ \Rightarrow MN = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3}.15\left[ {cm} \right] \]\[\,= 5\left[ {cm} \right].\]
\[\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\] \[ \Rightarrow EF = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.15\left[ {cm} \right] \]\[\,= 10\left[ {cm} \right].\]
b] Áp dụng kết quả bài 7 ở trên ta có:
\[\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MN.AK}}{{BC.AH}} \]\[\,= \dfrac{{MN}}{{BC}}.\dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}\]
Suy ra\[{S_{AMN}} = \dfrac{1}{9}{S_{ABC}}\]
Tương tự, suy ra:\[{S_{AEF}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}}\].
Do đó:\[{S_{MNEF}} = {S_{AEF}} - {S_{AMN}}\]\[\, = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}} - \dfrac{1}{9}{S_{ABC}} \]\[\,= \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\]
Với\[{S_{ABC}} = 270c{m^2}\], ta có\[{S_{MNEF}} = \dfrac{1}{3}.270 = 90\left[ {c{m^2}} \right].\]