- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
So sánh [không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi]:
LG câu a
\[6 + 2\sqrt 2 \] và \[9\];
Phương pháp giải:
\[A < B\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\] với \[[A > 0;B > 0].\]
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[9 = 6 + 3\]
So sánh: \[2\sqrt 2 \] và \[3\] vì \[2\sqrt 2 > 0 \] và \[3 > 0\]
Ta có:
\[{\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} = {2^2}{\left[ {\sqrt 2 } \right]^2} = 4 . 2 = 8\]
\[{3^2} = 9\]
Vì \[8 < 9\] nên \[{\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\]
\[\Rightarrow 6+2\sqrt 2 < 6+3\]\[\Rightarrow 6+2\sqrt 2 < 9\]
Vậy \[6 + 2\sqrt 2 < 9.\]
LG câu b
\[\sqrt 2 + \sqrt 3 \] và\[3\];
Phương pháp giải:
\[{[A + B]^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\]
\[A < B\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\] với \[[A > 0;B > 0].\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \]
Mà \[{3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2 . 2\]
So sánh: \[\sqrt 2 .\sqrt 3 \] và \[2\]
Ta có:
\[\sqrt2.\sqrt3 >\sqrt2.\sqrt2 = 2\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
&\Leftrightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
&\Leftrightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \]
\[\eqalign{
&\Leftrightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
&\Leftrightarrow {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]^2} > {3^2} \cr} \]
Vậy \[\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3.\]
LG câu c
\[9 + 4\sqrt 5 \] và\[16\];
Phương pháp giải:
\[A < B\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\] với \[[A > 0;B > 0].\]
Lời giải chi tiết:
So sánh \[4\sqrt 5 \] và \[7\]
Ta có:\[{\left[ {4\sqrt 5 } \right]^2} = {4^2}.{\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} \]\[= 16.5 = 80\]
Và \[7^2=49\]
\[80 > 49 \Rightarrow \sqrt {80} > \sqrt 49 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 7 \]
Từ đó
\[\eqalign{
& 4\sqrt 5 > 7 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 9 + 7 \cr} \]
Vậy \[9 + 4\sqrt 5 > 16\].
LG câu d
\[\sqrt {11} - \sqrt 3 \] và\[2\].
Phương pháp giải:
\[{[A - B]^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\]
\[A < B\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\] với \[[A > 0;B > 0].\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[\sqrt {11} > \sqrt 3 \] nên \[\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right]^2} \cr
& = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \].
\[2^2=4=14-10\]
Ta so sánh \[10\] và \[2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \] hay so sánh giữa \[5\] và \[\sqrt {11} .\sqrt 3 \].
Ta có: \[{5^2} = 25\]
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2} = {\left[ {\sqrt {11} } \right]^2}.{\left[ {\sqrt 3 } \right]^2} \cr
& = 11 . 3 = 33 \cr} \]
Vì \[25 < 33\] nên \[{5^2} < {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2}\]
Suy ra : \[5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \]
Suy ra :
\[\eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left[ {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right]^2} < {2^2} \cr} \]
Vậy \[\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2.\]