Phương sai và độ lệch chuẩn là những kiến thức toán học đại số khá quan trọng và thú vị, được ứng dụng nhiều trong công việc thống kê các con số. Vậy Phương sai và độ lệch chuẩn là gì? Tính toán phương sai và độ lệch chuẩn như thế nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu và tổng hợp kiến thức nhé!
Phương sai là gì? Cách tính phương sai
Phương sai là gì?
Phương sai của một bảng số liệu là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Bộ số liệu có giá trị phương sai nhỏ là bộ số liệu có các giá trị gần với giá trị trung bình.
Cách tính phương sai
Phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x, kí hiệu là \[s_{{x}^{2}}\]. Công thức tính phương sai như sau:
- Đối với bảng phân bố rời rạc
\[n_{1}+n_{2}+…+n_{n}=n\]
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}[x_{1}-\bar{x}]^{2}+n_{2}[[x_{2}-\bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[x_{k}-\bar{x}]^{2}]\]
=\[\frac{1}{n}[n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+…+n_{k}x_{1}^{2}]-[\bar{x}]^{2}\]
Với \[\bar{x}\] là số trung bình của bảng số liệu.
n là số các số liệu thống kê
- Đối với phân bố tần số ghép lớp
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}[n_{1}[C_{1}-\bar{x}]^{2}+n_{2}[[C_{2}-\bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[C_{k}-\bar{x}]^{2}]\]
Với \[C_{i}[i=1,2,…,k]\] là giá trị trung tâm của lớp thứ i
\[\bar{x}\] là số trung bình của bảng số liệu.
Nhận xét:
Có thể viết gọn các công thức về phương sai nhờ ký hiệu \[\sum\] như dưới đây:
\[S_{x}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}[x_{i}-\bar{x}]^{2}=\sum_{i=1}^{n}f_{i}[x_{i}-\bar{x}]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}^{2}-[\bar{x}]^{2}=\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-[\bar{x}]^{2}\]
Độ lệch chuẩn là gì? Các bước tính độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn hay độ lệch tiêu chuẩn [Standard Deviation]
Là giá trị chênh lệch trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình đã tính ra .
Căn bậc hai của phương sai một bảng số liệu được gọi là độ lệch chuẩn của bảng số liệu đó.
Độ lệch chuẩn của dấu hiệu x, ký hiệu: \[S_{x}\]
- Nếu độ lệch chuẩn bằng 0, suy ra phương sai bằng 0, suy ra các giá trị quan sát cũng chính là giá trị trung bình. Nói cách khác là không có sự biến thiên.
- Nếu độ lệch chuẩn càng lớn, suy ra sự biến thiên xung quanh giá trị trung bình càng lớn.
Phương sai cùng độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê [so với giá trị trung bình]. Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo, ta dùng độ lệch chuẩn vì độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn
Công thức tính:
\[S_{x}=\sqrt{S_{x}^{2}}\]
Để tính độ lệch chuẩn ta cần xác định giá trị sau:
– Giá trị trung bình
– Phương sai của tập số liệu.
Suy ra
Các bước tính độ lệch chuẩn:
Bước 1: Tính giá trị trung bình của bộ số liệu:
Giá trị trung bình bằng trung bình cộng các giá trị của tất cả bộ số liệu hay chính bằng tổng các giá trị trong bộ số liệu chia cho tổng số các giá trị có trong bộ số liệu.
Bước 2: Tính phương sai của bộ số liệu:
Phương sai là giá trị đặc trưng cho độ phân tán [biến thiên] của các số liệu trong bộ số liệu so với giá trị trung bình của bộ số liệu.
Công thức tính phương sai
\[S^{2}=\frac{\sum_{i}^{n}[X_{i}-\bar{X}]^{2}}{n-1}\]
Trong đó:
n là số phần tử của tập số liệu
\[\bar{X}\] là giá trị trung bình của bộ số liệu
\[x_{i}\] là các giá trị của bộ số liệu.
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Sử dụng công thức Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của giá trị phương sai để tính được ở bước 2
Tính phương sai và độ lệch chuẩn bằng máy tính
Để giải quyết các bài toán về phương sai cũng như độ lệch chuẩn một cách dễ dàng và hiệu quả hơn, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán:
Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn có ứng dụng khá hay đó là giúp chuẩn hóa giá trị của hai dãy số khác nhau về cùng một miền dữ liệu.
Ngoài ra, phương sai cùng độ lệch chuẩn còn được áp dụng nhiều trong giải quyết các công việc thực tế như: phương sai cùng độ lệch chuẩn trong xác suất thống kê, phương sai hay độ lệch chuẩn trong thống kê, phương sai cùng độ lệch chuẩn trong tài chính…
Trên đây là tổng hợp kiến thức về chuyên đề phương sai với độ lệch chuẩn, hy vọng hữu ích với bạn trong quá trình tìm tòi và học tập của bản thân. Nếu có bất cứ thắc mắc hay đóng góp gì cho bài viết phương sai và độ lệch chuẩn, mời bạn để lại ở nhận xét bên dưới. Chúc bạn luôn học tập tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us:
Chào các bạn. Hôm nay mình sẽ hướng dẫn cách tính 3 đại lượng có mối quan hệ mật thiết với nhau : giá trị trung bình , phương sai , độ lệch chuẩn và ý nghiã của các giá trị này trong thống kê
- Giá trị trung bình : xác định ra giá trị đại diện chung trong 1 dãy số.
Ví dụ thời gian trung bình mỗi ngày dành cho việc học [tính theo giờ ] được cho theo dãy số có giá trị sau:
10, 7 ,3, 5, 7, 9 [ gồm 6 số]
Gọi x là giá trị trung bình : x = [10 +7 +3 +5 +7 +9] / 6 = 6.8
Vậy bạn dành trung bình 6.8h mỗi ngày cho việc học
- Phương sai: dùng xác định độ phân tán trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Bộ số liệu có giá trị phương sai nhỏ là bộ số liệu có các giá trị gần với giá trị trung bình.
+ Lấy các giá trị trong dãy số trừ cho giá trị trung bình và bình phương hiệu thu được .
[10-6.8]² , [7-6.8]², [3-6.8]² , [5-6.8]² , [7-6.8]² , [9-6.8]²
–> 10.24 , 0.04, 14.44, 3.24, 0.04 , 4.84
+ Cộng các giá trị này lại và chia cho [n-1] . Với n là số phần tử trong tập dữ liệu. Trong ví dụ này n = 6 –> n-1 =5
–> [10.24 + 0.04 + 14.44 + 3.24 + 0.04 + 4.84] / 5 = 6.568
Vậy phương sai tìm được là 6.568
Độ lệch chuẩn [Standard Deviation]: Giá trị chênh lệch trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình đã tính ra
Ví dụ thời gian học trung bình mỗi ngày của bạn là 6.8h nhưng không phải ngày nào cũng như nhau , sẽ có ngày ít giờ và ngày nhiều giờ .Vậy ta sẽ cần tính xem độ lệch ra như thế nào để có cơ chế điều chỉnh sự chênh lệch giữa các ngày đó
Độ lệch chuẩn = căn bậc hai của phương sai
–> phương sai = 6.568 –> độ lệch chuẩn = √6.568 = 2.562
Ứng dụng của độ lệch chuẩn: độ lệch chuẩn có công dụng khá hay đó chính là giúp chuẩn hóa giá trị của 2 dãy số khác nhau về cùng 1 miền dữ liệu . Ví dụ , bạn có 2 dãy số sau :
- 10, 7 ,3, 5, 7, 9 [với độ lệch chuẩn đã tính ở trên là 2.562] [1]
- 108, 89, 108, 89, 89, 47 [với độ lệch chuẩn được tính là 22.28 [2]
- 1249, 1512,945, 1721, 1023 ,1512 [với độ lệch chuẩn được tính là 305.97 [3]
–> Lấy từng phần tử trong dãy số chia cho độ lệch chuẩn . Ta được kết quả sau :
- 3.9 , 2.73 , 1.17, 1.95 , 2.73 , 3.51 [1]
- 4.84 , 3.99 , 4.84, 3.99 , 3.99 , 2.11 [2]
- 4.08 , 4.94, 3.08 , 5.62 , 3.34 , 4.94 [3]
Ở đây cả 3 dãy số [1] [2] [3] ban đầu có giá trị khác nhau nhưng khi đem chia cho độ lệch chuẩn thì gía trị lại được đưa về miền giá trị từ [1 ,10] . Rất thú vị phải không nào ?