- LG a
- LG b
Cho \[a, b, c, d\] theo thứ tự là tọa độ của các điểm \[A, B, C, D\] trên trục \[Ox\].
LG a
Chứng minh rằng khi \[a + b \ne c + d\] thì luôn tìm được điểm \[M\] sao cho
\[\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \].
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \\ \Leftrightarrow [\overline {OA} - \overline {OM} ][\overline {OB} - \overline {OM} ]\\ = [\overline {OC} - \overline {OM} ][\overline {OD} - \overline {OM} ]\\ \Leftrightarrow \overline {OA} .\overline {OB} - \overline {OM} .\overline {OB} - \overline {OA} .\overline {OM} + {\overline {OM} ^2}\\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OM} .\overline {OD} - \overline {OC} .\overline {OM} + {\overline {OM} ^2} \\\Leftrightarrow \overline {OM} .\overline {OD} + \overline {OC} .\overline {OM} - \overline {OM} .\overline {OB} - \overline {OA} .\overline {OM} \\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OA} .\overline {OB} \\\Leftrightarrow \overline {OM} [\overline {OD} + \overline {OC} - \overline {OA} - \overline {OB} ]\\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OA} .\overline {OB} \\ \Leftrightarrow \,\,\overline {OM} .[d + c - a - b] \\= cd - ab\,\,\,\,\,\,\,[*]\end{array}\]
Do \[a + b \ne c + d\] nên \[\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}.\]
LG b
Khi \[AB\] và \[CD\] có cùng trung điểm thì điểm \[M\] ở câu a] có xác định không?
Áp dụng. Xác định tọa độ điểm M nếu biết:
\[a=-2 ; b=5 ;\] \[ c=3, d=-1.\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[AB\] và \[CD\] có cùng trung điểm \[I\]. Khi đó
\[\dfrac{{\overline {OA} + \overline {OB} }}{2} = \dfrac{{\overline {OC} + \overline {OD} }}{2}[ = \overline {OI} ],\]
Hay \[a+b=c+d\]. Khi đó, \[ab \ne cd\] [vì nếu \[ab=cd\] và \[a+b=c+d\] thì dễ dàng suy ra bốn điểm \[A, B, C, D\] không phân biệt]. Vậy từ [*] ta suy ra điểm \[M\] không xác định.
Áp dụng:
Với \[a=-2, b=5, c=3, d=-1\], ta thấy \[a + b \ne c + d\] . Theo câu a], điểm \[M\] được xác định và ta có
\[\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}\]
\[= \dfrac{{3.[ - 1] - [ - 2].5}}{{ - 1 + 3 + 2 - 5}} = - 7.\]
Suy ra điểm \[M\] có tọa độ là \[-7.\]