- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho elip \[[E]: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,[a > b > 0].\]
LG a
Chứng minh rằng với mọi \[M\] thuộc \[[E],\] ta luôn có \[b \le OM \le a\].
Lời giải chi tiết:
\[M[{x_0} ; {y_0}] \in [E] \]
\[\Rightarrow \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1 [a > b > 0] ;\]
\[ O{M^2} = x_0^2 + y_0^2\].
Ta có
\[\begin{array}{l} \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_0^2}}{{{a^2}}} \le \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1 \\ \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 \le {a^2} \\ \Leftrightarrow O{M^2} \le {a^2} \Leftrightarrow OM \le a.\\ \dfrac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \ge \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1 \\\Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 \ge {b^2} \Leftrightarrow O{M^2} \ge {b^2} \\ \Leftrightarrow OM \ge b.\end{array}\]
Vậy \[b \le OM \le a\]. Ta có \[a=OM\] khi và chỉ khi \[y_0=0,\] tức là \[M\] trùng với các đỉnh trên trục lớn.
Ta có \[b=OM\] khi và chỉ khi \[x_0=0,\] tức là \[M\] trùng với các đỉnh trên trục bé.
LG b
Gọi \[A\] là giao điểm của đường thẳng có phương trình \[\alpha x + \beta y = 0\] với \[[E]\]. Tính \[OA\] theo \[a, b, \alpha , \beta \].
Lời giải chi tiết:
Tọa độ điểm \[A\] là nghiệm của hệ
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha x + \beta y = 0\\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow x_A^2 = \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} , \\ y_A^2 = \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2\\ = \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} + \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}{b^2}[{\alpha ^2} + {\beta ^2}]}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\ \Rightarrow OA = \dfrac{{ab.\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}{{\sqrt {{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}} }}.\end{array}\]
LG c
Gọi \[B\] là điểm trên \[[E]\] sao cho \[OA \bot OB\]. Chứng minh rằng tổng \[ \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}\] có giá trị không đổi.
Lời giải chi tiết:
Do \[OA\] vuông góc với \[OB\] nên phương trình đường thẳng \[OB\] là: \[\beta x - \alpha y = 0\]. \[B\] là giao điểm của \[[E]\] với đường thẳng \[\beta x + [ - \alpha ]y = 0\] nên áp dụng câu b], ta có
\[O{B^2} = \dfrac{{{a^2}{b^2}\left[ {{\beta ^2} + {{[ - \alpha ]}^2}} \right]}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{{[ - \alpha ]}^2}}}\]
\[= \dfrac{{{a^2}{b^2}[{\alpha ^2} + {\beta ^2}]}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}.\]
Do đó :
\[ \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}\]
\[= \dfrac{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2} + {a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{b^2}[{\alpha ^2} + {\beta ^2}]}} \]
\[= \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\] không đổi.
LG d
Chứng minh rằng đường thẳng \[AB\] luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết:
Kẻ \[OH \bot AB\]. Trong tam giác vuông \[AOB,\] ta có
\[\begin{array}{l} \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\end{array}\]
Vậy đường thẳng \[AB\] luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm \[O,\] bán kính \[R = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].