Đề bài
Tam giác \[ABC\] có \[\widehat B = {60^0}; \widehat C = {45^0}; BC = a\].
a] Tính độ dài hai cạnh \[AB, AC.\]
b] Chứng minh \[\cos {75^0} = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat A = {180^0} - [{60^0} + {45^0}] = {75^0}.\]
Đặt \[AC=b, AB=c\]. Theo định lí hàm sớ sin:
\[\dfrac{b}{{\sin {{60}^o}}} = \dfrac{a}{{\sin {{75}^0}}} = \dfrac{c}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\].
Suy ra \[b = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sin {{75}^0}}} ; c = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin {{75}^0}}}.\]
b] Kẻ \[AH \bot BC\] [h.52], do \[\widehat B, \widehat C\] đều là góc nhọn nên \[H\] thuộc đoạn \[BC\], hay \[BC=HB+HC\]. Ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2}\\HB = \dfrac{c}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = HC + HB = b\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{c}{2} \\= \dfrac{{a\sqrt 6 + a\sqrt 2 }}{{4.\sin {{75}^0}}} \\ \Rightarrow \sin {75^0} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\\\cos {75^0} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}{{75}^0}}\\ = \sqrt {1 - {{\left[ {\dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}} \right]}^2}} \\ = \dfrac{1}{4}\sqrt {8 - 2\sqrt {12} } \\ = \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left[ {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right]}^2}} = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\]