Đề bài - bài tập 17 trang 104 tài liệu dạy – học toán 8 tập 1
\(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = {{\widehat C} \over 2}\) (CE là tia phân giác của \(\widehat C\)), \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) Đề bài Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE \((D \in AC,E \in AB)\) . a) Chứng minh rằng ED // BC. b) Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. Lời giải chi tiết a) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = {{\widehat B} \over 2}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat B\)) \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = {{\widehat C} \over 2}\) (CE là tia phân giác của \(\widehat C\)), \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ABD\) ta có: \(AC = AB\) (\(\Delta ABC\) cân tại A); \(\widehat A\) chung; \(\widehat {ACE} = \widehat {ABD}\) (chứng minh trên) Xét \(\Delta ACE = \Delta ABD\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AE = AD\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AED} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) Mà \(\widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A). Nên \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\) Mà \(\widehat {AED}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc đồng vị. Do đó ED // BC. b) Vì ED // BC nên tứ giác BEDC là hình thang. Mà \(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A). Do đó tứ giác BEDC là hình thang cân) Ta có: \(\widehat {EBD} = \widehat {DBC}\) (hai góc so le trong và ED // BC) \( \Rightarrow \widehat {EBD} = \widehat {EDB} \Rightarrow \Delta EBD\) cân tại E \( \Rightarrow BE = ED\). Vậy tứ giác BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
|