Đề bài
Cho tam giác MNP nhọn. Các trung tuyến ME, NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.
a] Chứng minh rằng \[\Delta MFN = \Delta PFD\]
b] Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm GH. Gọi K là trung điểm DP. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Xét MFN và PFD có: MF = FP [F là trung điểm của MP]
\[\widehat {MFN} = \widehat {PFD}\] [đối đỉnh]
FN = FD [gt]
Do đó: MFN = PFD [c.g.c].
b] MNP có hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G [gt]
=> G là trọng tâm của MNP \[ \Rightarrow NG = {2 \over 3}NF\]
Ta có: NF = FD [gt] và GF = FH [F là trung điểm của GH]
=> NF GF = FD FH => NG = HD
Mà \[NG = {2 \over 3}NF\] và NF = FD [gt]. Nên \[HD = {2 \over 3}FD\]
MDP có DF là đường trung tuyến.
[F là trung điểm của MP] và \[HD = {2 \over 3}DF\]
Do đó H là trọng tâm của tam giác MDP.
Mà MK là đường trung tuyến của MDP [K là trung điểm của DP]
Nên MK đi qua H => M, H, K thẳng hàng.