Phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 8 luyện tập
|
1.1. Đặt vấn đềChúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\) Show Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý: 1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\) \( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn. Vậy phương trình vô nghiệm. ⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình. 1.2. Tìm điều kiện xác định của phương trìnhĐối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\) điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\) Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1.\) Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\) \( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) 1.3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫuĐể giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\) \( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 0. Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\) \( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\) \( \Leftrightarrow - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\) \( \Leftrightarrow - 2x = - 10\) \( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ. Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau $\frac{x - 1}{x + 2}+ 1 = \frac{1}{x - 2}$ Ta thấy $\begin{cases}x+2\neq0 &\\x-2\neq0 & \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq-2 & \\x\neq2 & \end{cases}\Leftrightarrow x\pm2$ Do đó ĐKXĐ của phương trình $\frac{x - 1}{x + 2}+ 1 = \frac{1}{x - 2}$ là $x \neq\pm2$. 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫuTa thường qua các bước: Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình tìm được. Bước 4: Kết luận. Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình. Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2x+5}{2x}=\frac{x}{x+5}$ + Bước 1: ĐKXĐ: $ x ≠ 0; x ≠ - 5.$ + Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu Ta có: $\frac{2x+5}{2x}-\frac{x}{x+5}=0\Leftrightarrow \frac{(2x+5)(x+5)}{2x(x+5)}-\frac{x.2x}{2x(x+5)}=0$ + Bước 3: Giải phương trình $⇒ ( 2x + 5 )( x + 5 ) - 2x^2 = 0$ $⇔ 2x^2 + 10x + 5x + 25 - 2x^2 = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3.$ + Bước 4: Kết luận So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = - 5/3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 5/3 }. Chuyên đề môn Toán lớp 8 Chuyên đề Toán học lớp 8: Phương trình chứa ẩn ở mẫu được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Bài hôm nay các em sẽ tìm hiểu về lý thuyết cùng với bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ngoài giúp các em ôn lại kiến thức, tài liệu dưới đây sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải bài. Mời các em cùng tham khảo nhé Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất. Chuyên đề: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để ôn tập hiệu quả dạng bài tập này, mời các bạn tham khảo thêm: Bài tập Toán lớp 8: Phương trình chứa ẩn ở mẫu1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ. Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau a) (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2). b) (x - 1)/(1 - 2x) = 1. Hướng dẫn: a) Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ - 2 và x - 2 ≠ 0 khi x ≠ 2. Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2) là x ≠ ± 2. b) Ta thấy 1 - 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2. Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(1 - 2x) = 1 là x ≠ 1/2. 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Ta thường qua các bước: Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình tìm được. Bước 4: Kết luận. Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình Hướng dẫn: Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu Ta có: ⇒ 2(x - 2)(x + 2) = x(2x + 3) Bước 3: Giải phương trình Ta có: 2(x - 2)(x + 2) = x(2x + 3) ⇔ 2(x2 - 4) = 2x2 + 3x ⇔ 2x2 - 8 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = - 8 ⇔ x = - 8/3. Bước 4: Kết luận So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = - 8/3 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 8/3 }. Ví dụ 2: Giải phương trình Hướng dẫn: + ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5.
⇒ (2x + 5)(x + 5) - 2x2 = 0 ⇔ 2x2 + 10x + 5x + 25 - 2x2 = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3. + So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = - 5/3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 5/3}. I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình  A. x = - 1. B. x = - 1/56. C. x = 1. D. x = 1/56. + ĐKXĐ: x ≠ - 7;x ≠ 3/2. ⇔ (3x - 2)(2x - 3) = (6x + 1)(x + 7) ⇔ 6x2 - 13x + 6 = 6x2 + 43x + 7 ⇔ 56x = - 1 ⇔ x = - 1/56. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 1/56. Chọn đáp án B. Bài 2: Nghiệm của phương trình (x + 1)/(3 - x) = 2 là? A. x = - 5/3. B. x = 0. C. x = 5/3. D. x = 3. + ĐKXĐ: x ≠ 3. + Ta có: (x + 1)/(3 - x) = 2 ⇔ x + 1 = 2( 3 - x ) ⇔ x + 1 = 6 - 2x ⇔ 3x = 5 ⇔ x = 5/3. Vậy phương trình có nghiệm là x = 5/3. Chọn đáp án C. Bài 3: Tập nghiệm của phương trình A. S = {± 1}. B. S = {0;1}. C. S = {1}. D. S = {Ø}. + ĐKXĐ: x2 - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1. ⇔ (x + 1)2 - (x - 1)2 = 4 ⇔ x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 = 4 ⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1. So sánh điều kiện, ta thấy x = 1 không thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { Ø }. Chọn đáp án D. Bài 4: Nghiệm của phương trình A. x = 5/3. B. x = - 5/3. C. x = - 2. D. x = 2. ⇔ (2x2 + 15x + 25) - 2x2 = 0 ⇔ 15x + 25 = 0 ⇔ x = - 5/3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 5/3. Chọn đáp án B. Bài 5: Giá trị của m để phương trình (x - m)/(x + 2) = 2 có nghiệm x = - 3 là? A. m = 0. B. m = 1. C. m = - 1. D. m = 2. + Điều kiện: x ≠ - 2. + Phương trình có nghiệm x = - 3, khi đó ta có: (- 3 - m)/(- 3 + 2) = 2 ⇔ (- m - 3)/(- 1) = 2 ⇔ m + 3 = 2 ⇔ m = - 1. Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án C. II. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn:
⇔ (x + 1)2 - (x - 1)2 = 16 ⇔ (x2 + 2x + 1) - (x2 - 2x + 1) = 16 ⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4. Vây phương trình đã cho có nghiệm x = 4.
⇔ 2(x2 + x - 2) = 2x2 + 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
⇔ 2(x2 + 10x + 25) - (x2 + 25x) = x2 - 10x + 25 ⇔ x2 - 5x + 50 = x2 - 10x + 25 ⇔ 5x = - 25 ⇔ x = - 5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 5. Bài 2: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn: a) ĐKXĐ: x ≠ - 1;x ≠ 3.
⇔ - x - 1 - x + 3 = x2 + x - x2 + 2x - 1 ⇔ 5x = 3 ⇔ x = 3/5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/5. b) ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 4, x ≠ 5, x ≠ 6.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0;x = 9/2. c) ĐKXĐ: x ≠ 1.
⇔ (x2 - 1 )( x3 + 1) - (x2 - 1)(x3 - 1) = 2(x2 + 4x + 4) ⇔ (x5 + x2 - x3 - 1) - (x5 - x2 - x3 + 1) = 2(x2 + 4x + 4) ⇔ 2x2 - 2 = 2x2 + 8x + 8 ⇔ 8x = - 10 ⇔ x = - 5/4. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 5/4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu được VnDoc chia sẻ trên đây. Với tài liệu này ngoài giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản còn giúp các em nâng cao kỹ năng giải bài tập, nhất là các bài tập về phương trình mẫu ở ẩn. Chúc các em học tốt, ngoài ra để nâng cao kỹ năng giải toán các em tham khảo thêm bài Tổng hợp kiến thức Toán lớp 8 hoặc Bài tập toán nâng cao lớp 8 này nhé ................................... Ngoài Phương trình chứa ẩn ở mẫu, các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi, học kì 1 lớp 8, học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Soạn bài lớp 8, Soạn Văn Lớp 8 (ngắn nhất) mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt
Tham khảo thêm
|
